Exercício 24 (Equações paramétricas) Considere-se o espaço munido de um sistema de coordenadas ortonormais . Sejam parâmetros reais. Considere-se o plano com equação geral ; considerem-se o plano ( ) e a reta com as respectivas representações paramétricas
Considerem-se os pontos M=(-1 ; 2 ; 3), N=(1 ;-2 ; 9).
24.7 Determinar o ângulo entre os planos (P) e(Q).
Passo 1
O enunciado pede o ângulo entre o plano
Para isso precisamos extrair os vetores normais de cada plano e usar a fórmula
(\displaystyle \cos\theta = \frac{|\mathbf{n}_P\cdot\mathbf{n}_Q|}{|\mathbf{n}_P||\mathbf{n}_Q|}.]
Passo 2
Do plano (Q) identificamos dois vetores diretores, derivando em relação a s e a t:
v1 = partial(x,y,z)partial s = (1,-1,-1), v2 = partial(x,y,z)partial t = (2,-2,3)
O vetor normal a (Q) é
nQ = v1 times v2 = det i&j&k 1&-1&-1 2&-2&3 = (-5,-5,0)
Como o sinal e o fator escalar não afetam o ângulo, podemos usar nQ=(1,1,0).
Passo 3
Para o plano (P) a forma geral já fornece o normal pelos coeficientes de (x,y,z):