Exercício 24 (Equações paramétricas) Considere-se o espaço munido de um sistema de coordenadas ortonormais (O ; imath, jmath, k). Sejam s, t in R parâmetros reais. Considere-se o plano com equação geral (P): x-2 y+3 z=-5; considerem-se o plano ( Q ) e a reta (R) com as respectivas representações paramétricas
(Q):l x=-2+s+2 t y=-s-2 t z=-1-s+3 t (s, t in R) (R):l x=-2+t y=-t z=-1-t (t in R)
Considerem-se os pontos M=(-1 ; 2 ; 3), N=(1 ;-2 ; 9).
24.7 Determinar o ângulo entre os planos (P) e(Q).

Passo 1

O enunciado pede o ângulo entre o plano
Para isso precisamos extrair os vetores normais de cada plano e usar a fórmula
(\displaystyle \cos\theta = \frac{|\mathbf{n}_P\cdot\mathbf{n}_Q|}{|\mathbf{n}_P||\mathbf{n}_Q|}.]

Passo 2

Do plano (Q) identificamos dois vetores diretores, derivando em relação a s e a t:
v1 = partial(x,y,z)partial s = (1,-1,-1), v2 = partial(x,y,z)partial t = (2,-2,3)
O vetor normal a (Q) é
nQ = v1 times v2 = det i&j&k 1&-1&-1 2&-2&3 = (-5,-5,0)
Como o sinal e o fator escalar não afetam o ângulo, podemos usar
nQ=(1,1,0).

Passo 3

Para o plano (P) a forma geral já fornece o normal pelos coeficientes de (x,y,z):
nP = (1,-2,3)

Passo 4

Aplicando a fórmula do cosseno do ângulo:
costheta = lvert nPcdot nQrvert |nP|,|nQ|
Aqui
nPcdot nQ =1cdot1+(-2)cdot1+3cdot0=-1, lvertnPcdotnQrvert=1,
|nP|=raiz1^2+(-2)^2+3^2=raiz14, |nQ|=raiz1^2+1^2+0^2=raiz2
Logo
costheta = 1raiz14,raiz2 = 12raiz7

Resposta

theta = arccos!l(tfrac12raiz7r)

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