Exercício 19 (Retas no espaço) Considere-se um sistema de coordenadas ortonormais ( O, imath, jmath, k ). Considerem-se os pontos A(0 ; 4 ; 1), B(1 ; 3 ; 0), C(2 ;-1 ;-2), D(7 ;-1 ; 4).
19.2 Seja a reta (r), que contém o ponto D e tem a direção do vetor u=(2 ;-1 ; 3). Mostrar que a reta (r) é ortogonal ao plano (ABC).

Passo 1

O enunciado nos dá os pontos A(0,4,1), B(1,3,0), C(2,-1,-2) e a reta (r) que passa por D(7,-1,4) com vetor diretor u=(2,-1,3). Queremos mostrar que (r) é ortogonal ao plano (ABC). Para isso, vamos provar que u é perpendicular a dois vetores independentes do plano.

Passo 2

Escolhemos dois vetores do plano (ABC), por exemplo
AB = B - A = (1-0,;3-4,;0-1) = (1,-1,-1),
AC = C - A = (2-0,;-1-4,;-2-1) = (2,-5,-3)

Passo 3

Calculamos os produtos internos entre u e esses vetores:
ucdotAB = 2cdot1 + (-1)cdot(-1) + 3cdot(-1) = 2 + 1 - 3 = 0,
ucdotAC = 2cdot2 + (-1)cdot(-5) + 3cdot(-3) = 4 + 5 - 9 = 0

Passo 4

Como u é perpendicular a dois vetores independentes do plano (ABC), ele é normal ao plano. Logo, a reta (r) de direção u é ortogonal ao plano (ABC).

Resposta

A reta (r) é ortogonal ao plano (ABC) porque seu vetor diretor u é perpendicular aos vetores AB e AC do plano.

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