Exercício 18. (D.K. ex. 3.5) Consideremos funções e distribuições em R^2 :
Definimos u(phi)=integral0^pi(-sen(t) partialx1+cos (t) partialx2) phi(cos (t), sen(t)) d t. Mostre que u define uma distribuição em R^2. Qual é a sua ordem?

Passo 1

O enunciado nos dá uma aplicação
ucolon Cc^infty(R^2)toR, u(phi)=integral0^pil(-sin(t),partialx1+cos(t),partialx2r)phil(cos t,sin tr),dt
Queremos mostrar que u é uma distribuição em R^2 (isto é, um funcional linear contínuo sobre Cc^infty) e determinar sua ordem. Para isso, vamos usar regra de cadeia e integração por partes no parâmetro t.

Passo 2

Aplicamos a regra de cadeia ao composto phi(cos t,sin t). Definindo
F(t)=phil(cos t,sin tr),
temos
F'(t) =partialx1phi(cos t,sin t)cdot(-sin t) +partialx2phi(cos t,sin t)cdotcos t
Logo o integrando em u(phi) é exatamente F'(t), isto é,
u(phi)=integral0^piF'(t),dt

Passo 3

Fazendo integração por partes em t (não há termo de contorno interior porque F é suave), obtemos
u(phi) =l[F(t)r]0^pi =F(pi)-F(0) =phi(cospi,sinpi)-phi(cos0,sin0) =phi(-1,0)-phi(1,0)

Passo 4

Portanto
u(phi)=phi(-1,0)-phi(1,0)
é uma combinação linear de avaliações de phi em (-1,0) e (1,0). Como essas avaliações são distribuições de ordem zero (deltas de Dirac), u também é uma distribuição e sua ordem é zero.

Resposta

u é uma distribuição em R^2 de ordem zero.

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