Exercício 18. (D.K. ex. 3.5) Consideremos funções e distribuições em
:
Definimos
. Mostre que
define uma distribuição em
. Qual é a sua ordem?
Definimos
Passo 1
O enunciado nos dá uma aplicação
Queremos mostrar que
é uma distribuição em
(isto é, um funcional linear contínuo sobre
) e determinar sua ordem. Para isso, vamos usar regra de cadeia e integração por partes no parâmetro
.
Passo 2
Aplicamos a regra de cadeia ao composto
. Definindo
temos
Logo o integrando em
é exatamente
, isto é,
Passo 3
Fazendo integração por partes em
(não há termo de contorno interior porque
é suave), obtemos
Passo 4
Portanto
é uma combinação linear de avaliações de
em
e
. Como essas avaliações são distribuições de ordem zero (deltas de Dirac),
também é uma distribuição e sua ordem é zero.