Exercício 19. (D.K. ex. 3.6) Mostre que se f é uma função contínua e Tf é a distribuição que corresponde a f, então Tf >= 0 se, e somente se, f >= 0.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função contínua f e a distribuição Tf associada a f definida por
lang<= Tf,varphirang<= ;=;integralRf(x),varphi(x),dx,
para todo varphiinD(R). Lembrando que dizemos T>= 0 se
lang<= T,varphirang<= >= 0
para todo varphiinD(R) com varphi>= 0. Queremos mostrar
Tf>= 0Long<=ftrightarrow f>= 0

Passo 2

Suponha que f(x)>= 0 para todo x. Então, dado qualquer varphiinD(R) com varphi>= 0, temos
lang<= Tf,varphirang<= =integralRf(x),varphi(x),dx;>=;0,
pois o integrando é produto de duas funções não negativas. Logo Tf>= 0.

Passo 3

Agora suponha Tf>= 0. Vamos provar que f(x)>= 0 para todo x. Se existisse um ponto x0 com f(x0)<0, pela continuidade de f existiria um intervalo aberto U contendo x0 em que f(x)<0. Como podemos escolher funções de teste com suporte arbitrariamente pequeno, tome varphiinD(R) tal que
  1. varphi>= 0,
  2. varphi(x0)>0,
  3. supp,varphisubset U.
Nesse caso
lang<= Tf,varphirang<= =integralUf(x),varphi(x),dx<0,
pois em U temos f(x)<0 e varphi(x)>=0 com valor estritamente positivo em algum ponto. Isso contradiz a hipótese Tf>= 0. Logo não pode existir x0 com f(x0)<0, ou seja, f(x)>= 0 para todo x.

Resposta

Concluímos que
Tf>= 0Long<=ftrightarrow f>= 0

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