Exercício 19. (D.K. ex. 3.6) Mostre que se
é uma função contínua e
é a distribuição que corresponde a
, então
se, e somente se,
.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma função contínua
e a distribuição
associada a
definida por
para todo
. Lembrando que dizemos
se
para todo
com
. Queremos mostrar
Passo 2
Suponha que
para todo
. Então, dado qualquer
com
, temos
pois o integrando é produto de duas funções não negativas. Logo
.
Passo 3
Agora suponha
. Vamos provar que
para todo
. Se existisse um ponto
com
, pela continuidade de
existiria um intervalo aberto
contendo
em que
. Como podemos escolher funções de teste com suporte arbitrariamente pequeno, tome
tal que
-
, -
, -
.
Nesse caso
pois em
temos
e
com valor estritamente positivo em algum ponto. Isso contradiz a hipótese
. Logo não pode existir
com
, ou seja,
para todo
.
Resposta
Concluímos que