Exercício 18. (D.K. ex. 3.5) Consideremos funções e distribuições em :
Definimos . Mostre que define uma distribuição em . Qual é a sua ordem?
Passo 1
O enunciado define uma aplicação
dada por
O conteúdo é teoria de distribuições: precisamos mostrar que é linear e contínua (isto é, define uma distribuição) e determinar a ordem mínima para a contínua -topologia.
Passo 2
Verificamos linearidade imediatamente, pois a integral preserva soma e multiplicação por escalares. Resta a continuidade: como tem suporte compacto, ele intersecta a semicircunferência num conjunto compacto . Para todo com suporte em , temos
Como supK|nablaphi| é uma das seminormas que definem a topologia em Cc^infty, concluímos que existe uma constante C e um compacto K tais que
Logo u é contínua e, portanto, é de fato uma distribuição.
Passo 3
Da desigualdade acima vemos que basta controlar derivadas de ordem até 1. Não há como controlar só sup|phi| (ordem zero), pois u envolve as derivadas partialxiphi. Portanto a ordem mínima de u é exatamente 1.
Resposta
A aplicação u é distribuição em R^2 e sua ordem é 1.