Exercício 18. (D.K. ex. 3.5) Consideremos funções e distribuições em R^2 :
Definimos u(phi)=integral0^pi(cos (t) partialx1+sen(t) partialx2) phi(cos (t), sen(t)) d t. Mostre que u define uma distribuição em R^2. Qual é a sua ordem?

Passo 1

O enunciado define uma aplicação
ucolon Cc^infty(R^2)toR,
dada por
u(phi)=integral0^pil(cos t,partialx1+sin t,partialx2r)phil(cos t,sin tr),dt
O conteúdo é teoria de distribuições: precisamos mostrar que u é linear e contínua (isto é, define uma distribuição) e determinar a ordem mínima para a contínua Cc^infty-topologia.

Passo 2

Verificamos linearidade imediatamente, pois a integral preserva soma e multiplicação por escalares. Resta a continuidade: como phi tem suporte compacto, ele intersecta a semicircunferência (x1,x2):x1^2+x2^2=1,;x2>=0 num conjunto compacto KsubsetR^2. Para todo phi com suporte em K, temos
l|u(phi)r| <=integral0^pil|cos t,partialx1phi(cos t,sin t)r|+l|sin t,partialx2phi(cos t,sin t)r|,dt <=pi;supxin Kl|nablaphi(x)r|
Como supK|nablaphi| é uma das seminormas que definem a topologia em Cc^infty, concluímos que existe uma constante C e um compacto K tais que
l|u(phi)r|<= C;supxin Ksum|alpha|<=1l|partial^alphaphi(x)r|
Logo u é contínua e, portanto, é de fato uma distribuição.

Passo 3

Da desigualdade acima vemos que basta controlar derivadas de ordem até 1. Não há como controlar só sup|phi| (ordem zero), pois u envolve as derivadas partialxiphi. Portanto a ordem mínima de u é exatamente 1.

Resposta

A aplicação u é distribuição em R^2 e sua ordem é 1.

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