Q 121 Calcule as derivadas sucessivas até a ordem n indicada.
f(x)=2 e^x+3 e^-x, n=3.

Passo 1

O enunciado pede as derivadas sucessivas de
f(x) = 2e^x + 3e^-x
até a ordem n=3. O conteúdo aqui é derivação de funções exponenciais simples.

Passo 2

Lembrando as regras básicas:
ddxe^x = e^x, ddxe^-x = -,e^-x,
e que a derivada de soma é a soma das derivadas.

Passo 3

Aplicando em f(x), para obter f'(x):
ddxl(2e^xr) = 2e^x, ddxl(3e^-xr) = -3e^-x,
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f'(x) = 2e^x - 3e^-x

Passo 4

Agora derivamos f'(x) para achar f''(x):
ddxl(2e^xr) = 2e^x, ddxl(-3e^-xr) = +3e^-x,
portanto
f''(x) = 2e^x + 3e^-x

Passo 5

Por fim, derivamos f''(x) para obter f'''(x):
ddxl(2e^xr) = 2e^x, ddxl(3e^-xr) = -3e^-x,
resultando em
f'''(x) = 2e^x - 3e^-x

Resposta

f'(x) = 2e^x - 3e^-x
f''(x) = 2e^x + 3e^-x
f'''(x) = 2e^x - 3e^-x

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