Exercício 17 (D.L.2.10)
Mostre que se lambda é um autovalor de A associado ao autovetor v então e^lambda é um autovalor de e^A associado ao autovetor v.

Passo 1

O enunciado quer que mostremos que, dado A matriz quadrada, se existe um autovalor lambda com autovetor vneq0 tal que
A,v = lambda,v,
então, ao definirmos a exponencial de A pela série de potências
e^A = sumn=0^infty 1n!,A^n,
devemos provar que
e^A,v = e^lambda,v,
isto é, que e^lambda é autovalor de e^A associado ao mesmo v.

Passo 2

Mostramos primeiro que para todo ninN vale
A^n,v = lambda^n,v
Base n=0: A^0=I e I,v=v=lambda^0v.
Passo indutivo: suponha A^nv=lambda^nv; então
A^n+1v = Al(A^nvr) = Al(lambda^nvr) = lambda^n,(A,v) = lambda^n,(lambda,v) = lambda^n+1v

Passo 3

Aplicamos agora e^A ao vetor v:
e^Av = sumn=0^infty1n!,A^nv = sumn=0^infty1n!,l(lambda^nvr) = l(sumn=0^inftylambda^nn!r),v = e^lambda,v

Passo 4

A igualdade e^Av=e^lambdav mostra exatamente que v é autovetor de e^A e e^lambda é o respectivo autovalor.

Resposta

e^lambda é autovalor de e^A associado ao autovetor v.

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