Exercício 17 (D.L.2.10)
Mostre que se
é um autovalor de
associado ao autovetor
então
é um autovalor de
associado ao autovetor
.
Mostre que se
Passo 1
O enunciado quer que mostremos que, dado
matriz quadrada, se existe um autovalor
com autovetor
tal que
então, ao definirmos a exponencial de
pela série de potências
devemos provar que
isto é, que
é autovalor de
associado ao mesmo
.
Passo 2
Mostramos primeiro que para todo
vale
Base
:
e
.
Passo indutivo: suponha ; então
Passo indutivo: suponha
Passo 3
Aplicamos agora
ao vetor
:
Passo 4
A igualdade
mostra exatamente que
é autovetor de
e
é o respectivo autovalor.