Exercício 19 (D.L.6.32)
Determine o conjunto alpha e omega-limite para o sistema
c x1^prime=-x2+x1(x1^2+x2^2) sen(piraizx1^2+x2^2) x2^prime=x1+x2(x1^2+x2^2) sen(piraizx1^2+x2^2)
(sugestão: analise o produto interno x1 x1^prime+x2 x2^prime.)

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema
x1'=-x2+x1l(x1^2+x2^2r)sen!l(dfracpiraizx1^2+x2^2r), x2'=x1+x2l(x1^2+x2^2r)sen!l(dfracpiraizx1^2+x2^2r)
O conteúdo é dinâmica em coordenadas polares. Vamos usar a sugestão e calcular o produto interno lang<= x,x'rang<==x1x1'+x2x2' para descobrir a equação radial. Em seguida identificamos as órbitas periódicas r=const e determinamos os conjuntos alpha-limite e omega-limite.

Passo 2

Defina r=raizx1^2+x2^2. Então
lang<= x,x'rang<= =x1(-x2+x1r^2sen(pi/r)) +x2(x1+x2r^2sen(pi/r)),
e nota-se que -x1x2+x2x1=0. Logo
lang<= x,x'rang<= =r,drdt =r^4sen!l(pirr)
Assim
drdt=r^3sen!l(pirr)
Paralelamente, em coordenadas polares a parte angular satisfaz dottheta=1, ou seja, theta(t)=theta(0)+t.

Passo 3

As órbitas periódicas circulares vêm de dot r=0. Como
r^3sen!l(pirr)=0 Longrightarrow sen!l(pirr)=0,
vem pi/r=kpi para algum kinN. Logo existem órbitas periódicas
rk=1k, k=1,2,3,dots

Passo 4

Para entender se
Em tal intervalo
  • se é par, então e ,
  • se é ímpar, então e .
Logo em a solução em vai monotonamente a
é par},\ r(t)\to r_{k+1}\quadquando é ímpar, \end{cases} \quadpara .]

Passo 5

Analogamente, para tto-infty a monotonicidade inverte, e r(t) tende ao outro extremo do mesmo intervalo l(rk+1,rkr).

Resposta

Se a condição inicial satisfaz
Se , então, para ,
í
e para é equilíbrio isolado, com - e -limite em .

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