Exercício 19 (D.L.6.32)
Determine o conjunto
e
-limite para o sistema
(sugestão: analise o produto interno
x1 x1^prime+x2 x2^prime .)
Determine o conjunto
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema
O conteúdo é dinâmica em coordenadas polares. Vamos usar a sugestão e calcular o produto interno
lang<= x,x'rang<==x1x1'+x2x2' para descobrir a equação radial. Em seguida identificamos as órbitas periódicas
r=const e determinamos os conjuntos
alpha -limite e
omega -limite.
Passo 2
Defina
r=raizx1^2+x2^2 . Então
e nota-se que
-x1x2+x2x1=0 . Logo
Assim
Paralelamente, em coordenadas polares a parte angular satisfaz
dottheta=1 , ou seja,
theta(t)=theta(0)+t .
Passo 3
As órbitas periódicas circulares vêm de
dot r=0 . Como
vem
pi/r=kpi para algum
kinN . Logo existem órbitas periódicas
Passo 4
Para entender se
Em tal intervalo
- se
é par, então e , - se
é ímpar, então e .
Logo em
a solução em
vai monotonamente a
é par},\ r(t)\to r_{k+1}\quadquando
é ímpar, \end{cases} \quadpara
.]
Passo 5
Analogamente, para
tto-infty a monotonicidade inverte, e
r(t) tende ao outro extremo do mesmo intervalo
l(rk+1,rkr) .
Resposta
Se a condição inicial satisfaz
Se
, então, para
,
e para é equilíbrio isolado, com
- e
-limite em
.