Resolva os problemas de valor inicial dados a seguir:
Passo 1
O enunciado dá um sistema linear não homogêneo de primeira ordem
X' = A,X + f(t),
onde
A = 1 & -1[6pt]1 & -1, f(t) = 1/t[3pt]1/t,
com “condição inicial” X(0)=(2,-1)^T. O conteúdo é resolução de sistemas lineares via matriz fundamental e variação de constantes. Precisaremos calcular e^At e depois usar a fórmula de variação de constantes.]
Passo 2
Observe que
A^2 =1 & -11 & -1^2 =1-1 & -1+11-1 & -1+1 =0&00&0
Como A^2=0, a série de exponencial para e^At termina em dois termos:
e^At = I + At
Passo 3
Pela variação de constantes, a solução geral é
X(t) =e^Atl(C+integral^t e^-Asf(s),dsr),
onde C é um vetor constante e e^-As=(I+As)^-1. Como det(I+As)=1 e A^2=0, temos
integral^t (I-As),f(s),ds =integral^t1/s1/sds =ln tln t +const
Passo 5
Escrevendo , a solução fica
Expandindo, vemos que cada componente envolve , que diverge quando . Portanto não é possível satisfazer a condição de modo finito.
Passo 6
Como o termo não homogêneo f(t) tem singularidade sim1/t em t=0, qualquer solução candidata diverge em t=0 e não atinge o valor (2,-1)^T nesse ponto. Assim, não existe solução que satisfaça X(0)=binom2-1.
Resposta
Não existe solução do problema de valor inicial para X(0)=binom2-1.