Resolva os problemas de valor inicial dados a seguir:
X^prime=(ll1 & -1 1 & -1) X+binom1 / t1 / t, X(0)=binom2-1

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear não homogêneo de primeira ordem
X' = A,X + f(t),
onde
A = 1 & -1[6pt]1 & -1, f(t) = 1/t[3pt]1/t,
com “condição inicial” X(0)=(2,-1)^T. O conteúdo é resolução de sistemas lineares via matriz fundamental e variação de constantes. Precisaremos calcular e^At e depois usar a fórmula de variação de constantes.]

Passo 2

Observe que
A^2 =1 & -11 & -1^2 =1-1 & -1+11-1 & -1+1 =0&00&0
Como A^2=0, a série de exponencial para e^At termina em dois termos:
e^At = I + At

Passo 3

Pela variação de constantes, a solução geral é
X(t) =e^Atl(C+integral^t e^-Asf(s),dsr),
onde C é um vetor constante e e^-As=(I+As)^-1. Como det(I+As)=1 e A^2=0, temos
(I+As)^-1=I-As

Passo 4

Calcule o integrando:
(I-As),f(s) =f(s)-A,s,f(s) =1/s1/s -s,underbraceA1/s1/s=,(0,0)^T =1/s1/s
Logo
integral^t (I-As),f(s),ds =integral^t1/s1/sds =ln tln t +const

Passo 5

Escrevendo , a solução fica
Expandindo, vemos que cada componente envolve , que diverge quando . Portanto não é possível satisfazer a condição de modo finito.

Passo 6

Como o termo não homogêneo f(t) tem singularidade sim1/t em t=0, qualquer solução candidata diverge em t=0 e não atinge o valor (2,-1)^T nesse ponto. Assim, não existe solução que satisfaça X(0)=binom2-1.

Resposta

Não existe solução do problema de valor inicial para X(0)=binom2-1.

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