Exercício 18.0.2. Determine os autovalores e autovetores das seguintes matrizes:
\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 2 \\\\ -1 & 0 & 1 \\\\ 1 & 1 & 2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para determinar os autovalores e autovetores da matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\\\\ -1 & 0 & 1\\\\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}.
O conteúdo é cálculo de autovalores via polinômio característico e, em seguida, solução dos sistemas (A-\lambda I)x=0 para cada autovalor \lambda.

Passo 2

Para achar o polinômio característico, montamos \det(A-\lambda I):
\det\begin{pmatrix} 1-\lambda & 0 & 2\\\\ -1 & -\lambda & 1\\\\ 1 & 1 & 2-\lambda \end{pmatrix} = (1-\lambda)\det\begin{pmatrix}-\lambda & 1\\[4pt]1 & 2-\lambda\end{pmatrix} - 0 + 2\det\begin{pmatrix}-1 & -\lambda\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}.
Calculando cada termo:
\det\begin{pmatrix}-\lambda & 1\\\ 1 & 2-\lambda\end{pmatrix} = -\lambda(2-\lambda) - 1 = \lambda^2 -2\lambda -1,
\det\begin{pmatrix}-1 & -\lambda\\\ 1 & 1\end{pmatrix} = (-1)\cdot1 - (-\lambda)\cdot1 = \lambda -1.
Logo,
\det(A-\lambda I) = (1-\lambda)(\lambda^2-2\lambda-1) + 2(\lambda-1).
Expandindo e simplificando obtém-se
\lambda^3 - 3\lambda^2 - \lambda + 3 = 0.
]

Passo 3

Fatoramos \lambda^3 -3\lambda^2 -\lambda +3. Testando \lambda=1 vemos que é raiz, então dividimos por \lambda-1 e obtemos
\lambda^3 -3\lambda^2 -\lambda +3 = (\lambda-1)(\lambda^2 -2\lambda -3) = (\lambda-1)(\lambda-3)(\lambda+1).
Portanto, os autovalores são
\lambda_1 = 1,\quad \lambda_2 = 3,\quad \lambda_3 = -1.

Passo 4

Para \lambda_1=1 resolvemos (A-I)x=0, isto é
\begin{pmatrix} 0 & 0 & 2\\\\ -1 & -1 & 1\\\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} =0.
Da primeira linha vem 2z=0\Rightarrow z=0. Da segunda ou terceira linha vem -x-y+z=0 e x+y+z=0, ambas dão x=-y. Tomando y=1, obtemos o autovetor
v_1 = \begin{pmatrix}-1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}.

Passo 5

Para \lambda_2=3 resolvemos (A-3I)x=0:
\begin{pmatrix} -2 & 0 & 2\\\\ -1 & -3 & 1\\\\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} =0.
Da primeira linha -2x+2z=0\Rightarrow x=z. Da segunda linha -x-3y+z=0 com x=z y=0. Tomando z=1, o autovetor é
v_2 = \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 6

Para \lambda_3=-1 resolvemos (A+I)x=0:
\begin{pmatrix} 2 & 0 & 2\\\\ -1 & 1 & 1\\\\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} =0.
Da primeira linha 2x+2z=0\Rightarrow x=-z. Da segunda linha -x+y+z=0 com x=-z y=-2z. Tomando z=1, obtemos
v_3 = \begin{pmatrix}-1\\\ -2\\\ 1\end{pmatrix}.

Resposta

Os autovalores são
\lambda_1=1, \lambda_2=3, \lambda_3=-1.
Autovetores correspondentes:
v_1 = \begin{pmatrix}-1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix},\quad v_2 = \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix},\quad v_3 = \begin{pmatrix}-1\\\ -2\\\ 1\end{pmatrix}.

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