Exercício 18.0.2. Determine os autovalores e autovetores das seguintes matrizes:
Passo 1
O enunciado pede para determinar os autovalores e autovetores da matriz
O conteúdo é cálculo de autovalores via polinômio característico e, em seguida, solução dos sistemas
para cada autovalor
.
Passo 2
Para achar o polinômio característico, montamos
:
Calculando cada termo:
Logo,
Expandindo e simplificando obtém-se
]
Passo 3
Fatoramos
. Testando
vemos que é raiz, então dividimos por
e obtemos
Portanto, os autovalores são
Passo 4
Para
resolvemos
, isto é
Da primeira linha vem
. Da segunda ou terceira linha vem
e
, ambas dão
. Tomando
, obtemos o autovetor
Passo 5
Para
resolvemos
:
Da primeira linha
. Da segunda linha
com
dá
. Tomando
, o autovetor é
Passo 6
Para
resolvemos
:
Da primeira linha
. Da segunda linha
com
dá
. Tomando
, obtemos
Resposta
Os autovalores são
,
,
.
Autovetores correspondentes:
Autovetores correspondentes: