Exercício (18 O) diâmetro de uma partícula de contaminação (em micrômetros) é modelado pela função densidade de probabilidade
f(x)=2x^3, x>1
Determine x tal que P(X<x)=0,95.

Passo 1

O enunciado descreve uma variável aleatória contínua X com densidade
f(x)=2x^3, x>1
e pede o valor de x tal que
P(X<x)=0,95
O conteúdo envolve cálculo de função de distribuição acumulada (CDF) e inversão para encontrar o quantil de nível 0,95.

Passo 2

Para obter a CDF F(x)=P(X<= x), integramos a densidade de 1 até x:
F(x)=integral1^x2t^3,dt
Fazendo a integral,
integral1^x2t^-3,dt =l[-t^-2r]1^x =-1x^2-(-1) =1-1x^2
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F(x)=1-1x^2, x>1

Passo 3

Impondo F(x)=0,95, temos
1-1x^2=0,95 Longrightarrow 1x^2=0,05 Longrightarrow x^2=20 Longrightarrow x=raiz20

Passo 4

Calculando numericamente,
x=raiz20approx4,4721

Resposta

x=raiz20approx4,4721 micrômetros.

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