Exercício 18 (ELJ 97)

Determine o paralelepípedo de faces paralelas aos planos coordenados inscrito no elipsoide x^2+y^44+z^29=1 de maior volume possível.

Passo 1

O enunciado pede o paralelepípedo de faces paralelas aos planos coordenados (ou seja, um bloco alinhado aos eixos) inscrito na “elipsoide”
x^2 + y^44 + z^29 = 1
de maior volume. O que precisamos é usar otimização com restrição: vamos definir as metades das arestas do paralelepípedo como variáveis positivas X, Y e Z e maximizar o volume sob a condição dada pela superfície.

Passo 2

Se o paralelepípedo é -X <= x <= X, -Y <= y <= Y, -Z <= z <= Z, então seu volume é
V = 8,X,Y,Z
e a condição de que (X,Y,Z) esteja na superfície é
X^2 + Y^44 + Z^29 = 1

Passo 3

Aplicamos multiplicadores de Lagrange a
f(X,Y,Z)=X Y Z sujeito a g(X,Y,Z)=X^2 + Y^44 + Z^29-1=0
As equações nabla f = lambda,nabla g dão:
Y Z = lambda ,2X, X Z = lambda ,Y^3, X Y = lambda ,2Z9

Passo 4

Dividindo e comparando essas três equações, obtemos
Z^2 = 9X^2, X^2 = Y^42
Então
Z = 3X, X = raizY^42 = Y^2raiz2
Substituindo na restrição
X^2 + Y^44 + Z^29 = Y^42 + Y^44 + Y^42 = 54,Y^4 = 1
vem
Y^4 = 45, Y = gl(45gr)^1/4

Passo 5

Dessa forma
X = raiz25, Z = 3X = 3raiz25
Logo o paralelepípedo ótimo é aquele com vértices em
(pm X,;pm Y,;pm Z) = l(pm raiztfrac25,;pml(tfrac45r)^1/4,;pm 3raiztfrac25r)

Resposta

O paralelepípedo de maior volume inscrito é
(x,y,z)mid |x|<= raiztfrac25,;|y|<=l(tfrac45r)^1/4,;|z|<= 3raiztfrac25

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