Exercício 18 (ELJ 97)
Determine o paralelepípedo de faces paralelas aos planos coordenados inscrito no elipsoide
de maior volume possível.
Passo 1
O enunciado pede o paralelepípedo de faces paralelas aos planos coordenados (ou seja, um bloco alinhado aos eixos) inscrito na “elipsoide”
de maior volume. O que precisamos é usar otimização com restrição: vamos definir as metades das arestas do paralelepípedo como variáveis positivas
,
e
e maximizar o volume sob a condição dada pela superfície.
Passo 2
Se o paralelepípedo é
,
,
, então seu volume é
e a condição de que
esteja na superfície é
Passo 3
Aplicamos multiplicadores de Lagrange a
As equações
dão:
Passo 4
Dividindo e comparando essas três equações, obtemos
Então
Substituindo na restrição
vem
Passo 5
Dessa forma
Logo o paralelepípedo ótimo é aquele com vértices em
Resposta
O paralelepípedo de maior volume inscrito é