Sabendo que cos x=sumn=0^infty (-1)^n(2 n)! x^2 n, encontre a série de potências que representa sen xeo seu raio de convergência.

Passo 1

O enunciado dá a expansão de Maclaurin de cos x,
cos x = sumn=0^infty (-1)^n(2n)!,x^2n,
e pede a série de potências de sin x e seu raio de convergência. Vai cair em Maclaurin de funções elementares e operações termo a termo em séries de potências.

Passo 2

Dentro do raio de convergência de uma série de potências podemos diferenciar termo a termo. Como sabemos que
ddxcos x = -sin x,
basta diferenciar a série de cos x e multiplicar por -1 para obter a série de sin x.

Passo 3

Diferenciando termo a termo para cada n>=1:
ddxgl((-1)^n(2n)!x^2ngr) = (-1)^n,2n(2n)!,x^2n-1 = (-1)^n(2n-1)!,x^2n-1
Multiplicando por -1 vem
sin x = -sumn=1^infty(-1)^n(2n-1)!,x^2n-1 =sumn=1^infty(-1)^n+1(2n-1)!,x^2n-1

Passo 4

Reindexando com m=n-1, isto é, n=m+1, e trocando nrightarrow m para começar em 0, obtemos
sin x = summ=0^infty(-1)^m(2m+1)!,x^2m+1

Passo 5

Para o raio de convergência R aplicamos o teste da razão ao coeficiente geral am=(-1)^m(2m+1)!:
limmtoinftyl|amam+1r| =limmtoinfty(2m+3)!(2m+1)! =limmtoinfty(2m+3)(2m+2)=infty,
logo R=infty.

Resposta

sin x = sumn=0^infty(-1)^n(2n+1)!,x^2n+1, R=infty

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