Sabendo que , encontre a série de potências que representa sen xeo seu raio de convergência.
Passo 1
O enunciado dá a expansão de Maclaurin de ,
e pede a série de potências de e seu raio de convergência. Vai cair em Maclaurin de funções elementares e operações termo a termo em séries de potências.
Passo 2
Dentro do raio de convergência de uma série de potências podemos diferenciar termo a termo. Como sabemos que
basta diferenciar a série de e multiplicar por para obter a série de .
Passo 3
Diferenciando termo a termo para cada :
Multiplicando por vem
Passo 4
Reindexando com , isto é, , e trocando para começar em , obtemos
Passo 5
Para o raio de convergência aplicamos o teste da razão ao coeficiente geral :