Exercício 3.24 Seja
- Determine a diferencial exata df,
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar a diferencial exata
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função de duas variáveis é
. - O que se quer obter é a diferencial
, que é uma expressão linear em e .
Passo 2
Lembrete do conceito (passo-a-passo, bem mastigado): para uma função de duas variáveis
, a diferencial exata
é dada por
Aqui:
-
é a derivada parcial de em relação a , ou seja, a derivada tratando como constante. -
é a derivada parcial de em relação a , tratando como constante. -
e representam pequenos incrementos em e ; a diferencial é a aproximação linear da variação de quando e mudam.
Passo 3
Vamos calcular
passo a passo. Para facilitar, defina a função interna
Então
. Aplicando a regra da cadeia para a parte
:
- A derivada de
em relação a é . - Como
, tem-se .
Também derive o termo: a derivada de em relação a é .
Portanto
Se quiser ver mais claro: primeiro veio
e depois somou-se
.
Passo 4
Agora calculamos
com o mesmo raciocínio. Mantendo
:
- A derivada de
em relação a é . - Como
, tem-se .
O termonão depende de , então sua derivada parcial em relação a é .
Logo
Passo 5
Agora juntamos os dois resultados na fórmula da diferencial. Substituindo
e
em
obtemos
Uma forma equivalente, só reescrevendo os sinais, é
Passo 6
Interpretação prática curta e incentivo: essa expressão dá a variação linear de
quando
muda de
para
e
muda de
para
. Na prova, se pedirem diferencial ou aproximação linear, use exatamente este procedimento: calcular as derivadas parciais (regra da cadeia quando houver composição) e montar
. Você conseguiu — estamos quase lá!