Exercício 3.24 Seja f(x, y)=\cos \left(x^{2}-y^{2}\right)+x
  1. Determine a diferencial exata df,

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=\cos\!\left(x^{2}-y^{2}\right)+x e pede para determinar a diferencial exata df.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função de duas variáveis é f(x,y)=\cos\!\left(x^{2}-y^{2}\right)+x.
  • O que se quer obter é a diferencial df, que é uma expressão linear em dx e dy.

Passo 2

Lembrete do conceito (passo-a-passo, bem mastigado): para uma função de duas variáveis f(x,y), a diferencial exata df é dada por
df = \frac{\partial f}{\partial x}\,dx + \frac{\partial f}{\partial y}\,dy.
Aqui:
  • \dfrac{\partial f}{\partial x} é a derivada parcial de f em relação a x, ou seja, a derivada tratando y como constante.
  • \dfrac{\partial f}{\partial y} é a derivada parcial de f em relação a y, tratando x como constante.
  • dx e dy representam pequenos incrementos em x e y; a diferencial df é a aproximação linear da variação de f quando x e y mudam.

Passo 3

Vamos calcular \dfrac{\partial f}{\partial x} passo a passo. Para facilitar, defina a função interna
u(x,y)=x^{2}-y^{2}.
Então f(x,y)=\cos(u)+x. Aplicando a regra da cadeia para a parte \cos(u):
  • A derivada de \cos(u) em relação a x é -\sin(u)\cdot \dfrac{\partial u}{\partial x}.
  • Como u=x^{2}-y^{2}, tem-se \dfrac{\partial u}{\partial x}=2x.
    Também derive o termo +x: a derivada de x em relação a x é 1.
    Portanto
\frac{\partial f}{\partial x} = -\sin\!\left(x^{2}-y^{2}\right)\cdot 2x + 1.
Se quiser ver mais claro: primeiro veio -2x\sin(x^{2}-y^{2}) e depois somou-se +1.

Passo 4

Agora calculamos \dfrac{\partial f}{\partial y} com o mesmo raciocínio. Mantendo u=x^{2}-y^{2}:
  • A derivada de \cos(u) em relação a y é -\sin(u)\cdot \dfrac{\partial u}{\partial y}.
  • Como u=x^{2}-y^{2}, tem-se \dfrac{\partial u}{\partial y}=-2y.
    O termo +x não depende de y, então sua derivada parcial em relação a y é 0.
    Logo
\frac{\partial f}{\partial y} = -\sin\!\left(x^{2}-y^{2}\right)\cdot(-2y) = 2y\,\sin\!\left(x^{2}-y^{2}\right).

Passo 5

Agora juntamos os dois resultados na fórmula da diferencial. Substituindo \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y} em
df = \frac{\partial f}{\partial x}\,dx + \frac{\partial f}{\partial y}\,dy,
obtemos
df = \bigl(1 - 2x\sin\!\left(x^{2}-y^{2}\right)\bigr)\,dx + \bigl(2y\sin\!\left(x^{2}-y^{2}\right)\bigr)\,dy.
Uma forma equivalente, só reescrevendo os sinais, é
df = \left[1 - 2x\sin\!\left(x^{2}-y^{2}\right)\right]dx + \left[2y\sin\!\left(x^{2}-y^{2}\right)\right]dy.

Passo 6

Interpretação prática curta e incentivo: essa expressão dá a variação linear de f quando x muda de x para x+dx e y muda de y para y+dy. Na prova, se pedirem diferencial ou aproximação linear, use exatamente este procedimento: calcular as derivadas parciais (regra da cadeia quando houver composição) e montar df=\!f_x\,dx+f_y\,dy. Você conseguiu — estamos quase lá!

Resposta

df=\left(1-2x\sin\!\left(x^{2}-y^{2}\right)\right)dx+\left(2y\sin\!\left(x^{2}-y^{2}\right)\right)dy

Exercícios relacionados