Exercício 18. Encontre uma equação da reta tangente e normal à curva y=\frac{x-1}{x-2} no ponto (3,2).

Passo 1

O enunciado pede as equações da reta tangente e da reta normal à curva
y = \frac{x - 1}{x - 2}
no ponto (3,2). O conteúdo envolvido é derivada de função (regra do quociente), uso da derivada para obter o coeficiente angular da tangente e, em seguida, determinação da normal (reta perpendicular).

Passo 2

Vamos calcular y' usando a regra do quociente. Seja u(x)=x-1 e v(x)=x-2. Então
u'(x)=1,\qquad v'(x)=1
e
y' = \biggl(\frac{u}{v}\biggr)' = \frac{u'\,v - u\,v'}{v^2} = \frac{1\cdot(x-2) - (x-1)\cdot1}{(x-2)^2} = \frac{x-2 - x +1}{(x-2)^2} = \frac{-1}{(x-2)^2}.

Passo 3

Avaliaremos y' em x=3:
y'(3) = \frac{-1}{(3-2)^2} = -1.
Logo, o coeficiente angular da reta tangente é m_t = -1.

Passo 4

A equação da reta tangente, na forma ponto-inclinação y - y_0 = m_t(x - x_0), fica
y - 2 = -1\,(x - 3) \quad\Longrightarrow\quad y - 2 = -x + 3 \quad\Longrightarrow\quad y = -x + 5.

Passo 5

O coeficiente angular da reta normal é o negativo do inverso de m_t:
m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{-1} = 1.
Assim, a normal em (3,2) vem de
y - 2 = 1\,(x - 3) \quad\Longrightarrow\quad y - 2 = x - 3 \quad\Longrightarrow\quad y = x - 1.

Resposta

A reta tangente é y = -x + 5.
A reta normal é y = x - 1.

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