Em um projeto de engenharia, você está projetando um tanque de combustível com a forma de um cilindro de raio constante r=5 metros e altura variável. O perfil da base do tanque é dado pela equação y=raizx, onde 0 <= x <= 25. O tanque será girado ao redor do eixo x para formar o recipiente. Calcule o volume do tanque.
V=pi integral0^25(raizx)^2 d x

Passo 1

A questão pede o volume de um tanque obtido por revolução do perfil y=raizx em torno do eixo x, no intervalo 0<= x<=25. Vamos usar o método dos discos, cuja fórmula geral é V=piintegrala^b [f(x)]^2,dx.

Passo 2

O raio de cada disco, em função de x, é r(x)=raizx. Logo, a área da seção transversal é
A(x)=pil(r(x)r)^2=pi x

Passo 3

Substituindo na fórmula do volume, obtemos
V=piintegral0^25x,dx

Passo 4

Para calcular a integral, primeiro achamos a antiderivada de x:
integral x,dx=x^22
Em seguida, aplicamos os limites de 0 a 25:
integral0^25x,dx=[x^22]0^25=25^22-0=6252

Passo 5

Multiplicando pelo fator pi, o volume final fica:
V=picdot6252=625pi2, que, em forma decimal, é aproximadamente 981,75,m^3.

Resposta

625pi2,m^3

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