Exercício 18 (F.2.4 ex.5)
Analise o seguinte argumento:
Seja
uma função
-periódica tal que
, para
. Seja
a série de Fourier de
. Logo
. Derivando os dois lados da expressão, temos
ine
. Assim,
. Pela unicidade da série de Fourier, temos
, ou seja,
. isto implica que
para todo
. Portanto,
. Mas isto claramente é falso. Onde está o erro?
Seja
Passo 1
O enunciado define a função
2
-periódica por
e considera sua série de Fourier
que, em
, converge a
. O argumento “errado” deriva termo a termo essa série para concluir que
e obtém a contradição
. Precisamos localizar a etapa inválida.
Passo 2
Observe que a extensão periódica de
tem salto em
:
portanto
não é contínua nem diferenciável de forma periódica em todo
. A série de Fourier de
não converge uniformemente em
(por causa desses saltos).
Passo 3
Um teorema clássico diz que, para derivar termo a termo uma série de Fourier
é necessário que
- a série original convirja uniformemente,
-
seja continuamente diferenciável e sua derivada seja 2 -periódica e contínua.
Sob essas hipóteses a série derivada
é a série de Fourier de
.
Passo 4
Aqui
não satisfaz as hipóteses acima: a convergência não é uniforme e
também não é 2
-periódica contínua (mesmo salto em
). Logo não se pode derivar termo a termo a série de Fourier de
. A igualdade
é ilegítima, e a partir dela a aplicação da unicidade falha.
Resposta
O erro está em derivar termo a termo a série de Fourier sem cumprir as condições de convergência uniforme e de diferenciabilidade periódica de
.