Exercício 18 (F.2.4 ex.5)

Analise o seguinte argumento:
Seja f: R C uma função 2 pi-periódica tal que f(theta)=e^theta, para -pi<theta<pi. Seja sumn=-infty^infty cn e^i n theta a série de Fourier de f. Logo e^theta=sumn=-infty^infty cn e^i n theta. Derivando os dois lados da expressão, temos e^theta=sumn=-infty^infty cn ine ^i n theta. Assim, sumn=-infty^infty cn e^i n theta=sumn=-infty^infty cn i n e^i n theta. Pela unicidade da série de Fourier, temos cn=i n cn, ou seja, (1-i n) cn=0. isto implica que cn=0 para todo n. Portanto, e^theta=0. Mas isto claramente é falso. Onde está o erro?

Passo 1

O enunciado define a função fcolonRtoC 2 pi-periódica por
f(theta)=e^theta, -pi<theta<pi,
e considera sua série de Fourier
sumn=-infty^inftycne^i ntheta
que, em -pi<theta<pi, converge a e^theta. O argumento “errado” deriva termo a termo essa série para concluir que cn=i n cn e obtém a contradição e^theta=0. Precisamos localizar a etapa inválida.

Passo 2

Observe que a extensão periódica de f tem salto em theta=pmpi:
limthetatopi^-f(theta)=e^pi, limthetato(-pi)^+f(theta)=e^-pi,
portanto f não é contínua nem diferenciável de forma periódica em todo R. A série de Fourier de f não converge uniformemente em [-pi,pi] (por causa desses saltos).

Passo 3

Um teorema clássico diz que, para derivar termo a termo uma série de Fourier
sum cne^i ntheta,
é necessário que
  1. a série original convirja uniformemente,
  2. f seja continuamente diferenciável e sua derivada seja 2 pi-periódica e contínua.
    Sob essas hipóteses a série derivada
sum cn,i n,e^i ntheta
é a série de Fourier de f'.

Passo 4

Aqui f não satisfaz as hipóteses acima: a convergência não é uniforme e f'!(theta)=e^theta também não é 2 pi-periódica contínua (mesmo salto em pmpi). Logo não se pode derivar termo a termo a série de Fourier de f. A igualdade
e^theta=sumn=-infty^inftycn,i n,e^i ntheta
é ilegítima, e a partir dela a aplicação da unicidade falha.

Resposta

O erro está em derivar termo a termo a série de Fourier sem cumprir as condições de convergência uniforme e de diferenciabilidade periódica de f.

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