Se f(x)=e^2 x, mostre que f(0)+f^prime(0)+f^prime prime(0)+ldots+f^(n)(0)= 2^n+1-1.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=e^2x e pede a soma
f(0)+f'(0)+f''(0)+cdots+f^(n)(0)
O conteúdo é calcular derivadas de uma exponencial com constante no expoente e depois somar uma série geométrica.

Passo 2

Vamos achar a expressão geral de f^(k)(x). Como
f(x)=e^2x,
temos
f'(x)=2e^2x, f''(x)=2l(2e^2xr)=2^2e^2x,
e por indução
f^(k)(x)=2^k e^2x
Em particular, em x=0 fica
f^(k)(0)=2^k e^0=2^k

Passo 3

A soma pedida é
sumk=0^n f^(k)(0) =sumk=0^n 2^k
Isso é uma progressão geométrica de primeiro termo 1, razão 2 e n+1 termos. Logo
sumk=0^n 2^k =2^n+1-12-1 =2^n+1-1

Resposta

f(0)+f'(0)+cdots+f^(n)(0)=2^n+1-1

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