Seja f(x)=ln (1+pi arctan x). Determine:
a) o domínio de f
(0,75)
Para que f(x)=ln (1+pi arctan x) esteja bem definida como número real, deve ser satisfeita a condição:
1+pi arctan x & >0 pi arctan x & >-1 arctan x & >-1pi tan (arctan x) & >tan (-1pi) ; tan x é função crescente x & >-tan (1pi) ; tan x é ímpar éçãéí
Observe que a função arctan é definida para todo número real. Logo Df= (-tan (1pi),+infty)
b) f^-1(x), se existir
(0,75)
Se x=ln (1+pi arctan y) Rightarrow e^x=1+pi arctan y Rightarrow e^x-1=pi arctan y Rightarrow 1pi(e^x-1)=arctan y Rightarrow tan (1pi(e^x-1))=y Rightarrow f^-1(x)=tan (1pi(e^x-1)) é a função inversa de f.
c) Determine se existe assíntota horizontal ao gráfico de f quando x infty.
(1,0)
Para determinar se existe assíntota horizontal quando x infty será calculado o limite da função quando x tende a +infty.
Como lim x infty arctan x=pi2, temos:
lim x infty f(x) & =lim x infty ln (1+pi arctan x) & =ln (lim x infty 1+pi arctan x) ; ln é contínua no seu domínio & =ln (1+pi lim x infty arctan x) ; propriedades de limite de funções & =ln (1+pi cdot pi2) & =ln (1+pi^22) éííçõ
Portanto a reta y=ln (1+pi^22) é assíntota horizontal de f.
Observação: como o domínio de f é o intervalo ( -tan (1pi),+infty ), não faz sentido calcular o limite da função quando x tende -infty.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=lnl(1+pi,arctan xr)
e pede:
a) o domínio de f,
b) a inversa f^-1, se existir,
c) a existência de assíntota horizontal quando xto+infty.
Para resolver vamos usar: condição de existência de ln, resolução de equação para inversa e cálculo de limites.

Passo 2

Precisamos que o argumento do ln seja positivo:
1+pi,arctan x>0
Então
pi,arctan x>-1 Longrightarrow arctan x>-1pi
Como tan é crescente em l(-tfracpi2,tfracpi2r), isso equivale a
x> tan!l(-tfrac1pir) ;=;-,tan!l(tfrac1pir)
Portanto o domínio de f é
Df=l(-tan(tfrac1pi),,+inftyr)

Passo 3

Para achar a inversa, escrevemos y=f(x):
y=lnl(1+pi,arctan xr)
Elevando e a ambos os lados:
e^y=1+pi,arctan x Longrightarrow arctan x=e^y-1pi Longrightarrow x=tan!l(tfrace^y-1pir)
Como arctan e ln são crescentes, f é estritamente crescente e, num intervalo, invertível. Logo
f^-1(y) =tan!l(tfrace^y-1pir)
O domínio de f^-1 é a imagem de f, que vai de
ln(0^+)= -infty até
lnl(1+picdottfracpi2r)=lnl(1+tfracpi^22r).

Passo 4

Para a assíntota horizontal em xto+infty calculamos
limxto+inftyf(x) =limxto+inftylnl(1+pi,arctan xr)
Como limxto+inftyarctan x=tfracpi2 e ln é contínua:
limxto+inftyf(x) =ln!l(1+picdottfracpi2r) =ln!l(1+tfracpi^22r)
Logo existe assíntota horizontal
y=ln!l(1+tfracpi^22r)

Resposta

a) Df=l(-tan(tfrac1pi),,+inftyr).
b) f^-1(x)=tan!l(tfrace^x-1pir), com domínio l(-infty,;ln(1+tfracpi^22)r).
c) Há assíntota horizontal
y=ln!l(1+tfracpi^22r)

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