Seja
. Determine:
a) o domínio de
Para que
esteja bem definida como número real, deve ser satisfeita a condição:
Observe que a função arctan é definida para todo número real. Logo
b)
, se existir
Se
é a função inversa de
.
c) Determine se existe assíntota horizontal ao gráfico de
quando
.
Para determinar se existe assíntota horizontal quando
será calculado o limite da função quando
tende a
.
Como
, temos:
Portanto a reta
é assíntota horizontal de
.
Observação: como o domínio de
é o intervalo (
), não faz sentido calcular o limite da função quando
tende
.
a) o domínio de
Para que
b)
Se
c) Determine se existe assíntota horizontal ao gráfico de
Para determinar se existe assíntota horizontal quando
Como
Observação: como o domínio de
Passo 1
O enunciado define a função
e pede:
a) o domínio de ,
b) a inversa , se existir,
c) a existência de assíntota horizontal quando .
Para resolver vamos usar: condição de existência de , resolução de equação para inversa e cálculo de limites.
a) o domínio de
b) a inversa
c) a existência de assíntota horizontal quando
Para resolver vamos usar: condição de existência de
Passo 2
Precisamos que o argumento do
seja positivo:
Então
Como
é crescente em
, isso equivale a
Portanto o domínio de
é
Passo 3
Para achar a inversa, escrevemos
:
Elevando
a ambos os lados:
Como
e
são crescentes,
é estritamente crescente e, num intervalo, invertível. Logo
O domínio de
é a imagem de
, que vai de
até
.
Passo 4
Para a assíntota horizontal em
calculamos
Como
e
é contínua:
Logo existe assíntota horizontal
Resposta
a)
.
b) , com domínio
.
c) Há assíntota horizontal
b)
c) Há assíntota horizontal