Exercício 18. (F. 4.2, ex.5) Resolva a equação abaixo:
c partial upartial t(t, x)=k partial^2 upartial x^2(t, x)+e^-2 t sen(x),(t, x) in] 0, infty[times] 0, pi[ u(t, 0)=u(t, pi)=0, t>infty u(0, x)=0, forall x in] 0, pi[

Passo 1

O problema é a equação do calor com fonte inhomogênea
partial upartial t(t,x)=k,partial^2upartial x^2(t,x)+e^-2tsin(x), t>0,;0<x<pi,
com condições de contorno u(t,0)=u(t,pi)=0 e condição inicial u(0,x)=0.
Conteúdo: expansão em autofunções de Sturm–Liouville (seno) e redução a ODEs para os coeficientes.

Passo 2

Procuramos solução da forma
Projetando a equação em cada
Como para e para , concluímos
com (u_n(0)=0].

Passo 3

Para n>=2 temos un'(t)+k n^2un(t)=0 e un(0)=0, logo un(t)equiv0.
Para n=1 a ODE é
u1'(t)+k,u1(t)=e^-2t, u1(0)=0
Usamos fator integrante e^k t:
ddtl(u1(t)e^k tr) =e^k te^-2t=e^(k-2)t

Passo 4

Integramos de 0 a t:
u1(t)e^k t =integral0^te^(k-2)s,ds = dfrace^(k-2)t-1k-2,&kneq2,[1em] t,&k=2
Logo,
u1(t)= dfrace^-2t-e^-k tk-2,&kneq2, t,e^-2t,&k=2 ]

Resposta

Assim, a solução é
u(t,x)= dfrace^-2t-e^-k tk-2,sin(x),&kneq2,[1em] t,e^-2t,sin(x),&k=2 ]

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