com condições de contorno u(t,0)=u(t,pi)=0 e condição inicial u(0,x)=0.
Conteúdo: expansão em autofunções de Sturm–Liouville (seno) e redução a ODEs para os coeficientes.
Passo 2
Procuramos solução da forma
Projetando a equação em cada
Como para e para , concluímos
com (u_n(0)=0].
Passo 3
Para n>=2 temos un'(t)+k n^2un(t)=0 e un(0)=0, logo un(t)equiv0.
Para n=1 a ODE é
u1'(t)+k,u1(t)=e^-2t, u1(0)=0
Usamos fator integrante e^k t:
ddtl(u1(t)e^k tr) =e^k te^-2t=e^(k-2)t
Passo 4
Integramos de 0 a t:
u1(t)e^k t =integral0^te^(k-2)s,ds = dfrace^(k-2)t-1k-2,&kneq2,[1em] t,&k=2