Questão 1 (2,5 pontos)

Dado o problema de valor inicial:
x y^prime prime-(x-2) y=0 y(2)=0, y^prime(2)=-1
(a) Determine sua solução pelo método das séries de potências, encontrando até o termo de ordem 5.

Passo 1

O enunciado pede a solução do problema de valor inicial
x y'' - (x-2)y = 0, y(2)=0,;y'(2)=-1
usando séries de potências em torno de x0=2, encontrando termos até ordem 5.

Passo 2

Fazemos a mudança de variável t=x-2, de modo que x=t+2. Assumimos
y(t)=sumn=0^inftyan,t^n
Como y(2)=y(0)=a0=0 e y'(2)=y't(0)=a1=-1, temos
a0=0, a1=-1

Passo 3

Calculamos
y''(t)=sumn=2^infty n(n-1)an,t^,n-2,
e substituímos em
(t+2)y'' - t,y =0
Isto gera, coletando potências de t^m, a condição
summ=0^inftyl[(m+1)m,am+1+2(m+2)(m+1),am+2-cmr]t^m=0,
onde c0=0 e cm=am-1 para m>=1.

Passo 4

Igualando cada coeficiente a zero obtemos para m>=1 a recorrência
2(m+2)(m+1),am+2 = am-1-m(m+1),am+1,
ou em forma explícita
labelrec am+2 =am-1-m(m+1),am+12(m+2)(m+1)
Para m=0 4,a2=0, logo a2=0.

Passo 5

Usando eqrefrec e a0=0,a1=-1,a2=0:
  • Para m=1: a3=a0-1cdot2,a22cdot3cdot2 =0
  • Para m=2: a4=a1-2cdot3,a32cdot4cdot3 =-124
  • Para m=3: a5=a2-3cdot4,a42cdot5cdot4 =12/(24)40=180

Passo 6

Assim, até ordem 5 em t=x-2, a solução é
y(t)=a0 + a1t + a2t^2+a3t^3+a4t^4+a5t^5+cdots = -,t ;-;t^424;+;t^580+cdots

Resposta

boxedy(x) = -,(x-2);-;(x-2)^424;+;(x-2)^580+Ol((x-2)^6r)

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