Questão 1 (2,5 pontos)
Dado o problema de valor inicial:
(a) Determine sua solução pelo método das séries de potências, encontrando até o termo de ordem 5.
Passo 1
O enunciado pede a solução do problema de valor inicial
usando séries de potências em torno de
, encontrando termos até ordem 5.
Passo 2
Fazemos a mudança de variável
, de modo que
. Assumimos
Como
e
, temos
Passo 3
Calculamos
e substituímos em
Isto gera, coletando potências de
, a condição
onde
e
para
.
Passo 4
Igualando cada coeficiente a zero obtemos para
a recorrência
ou em forma explícita
Para
dá
, logo
.
Passo 5
Usando
e
:
- Para
: - Para
: - Para
:
Passo 6
Assim, até ordem 5 em
, a solução é