Exercício 18. (G. ex. 3.12) Frequentemente se encontra em livros a notação
para a distribuição delta de Dirac
. Além disso, é comum encontrarmos em textos de física a notação
para a distribuição
. Isto é motivado pelo seguinte cálculo heurístico:
para
.
Motive por um cálculo similar a fórmula
, para
Motive por um cálculo similar a fórmula
Passo 1
O enunciado quer que, de forma análoga ao deslocamento
, a gente derive a relação entre
e
. O tema aqui é a distribuição de Dirac e o uso de mudança de variável sob o sinal de integral agindo sobre funções-teste
.
Passo 2
Definimos a ação de
sobre uma função-teste
por
Passo 3
Fazemos a mudança de variável
Como os limites
e
podem trocar de ordem se
, o fator
passa a ser
. Assim
pois
“puxa”
para
.
Passo 4
Como
, a igualdade
implica, em termos de distribuições,