Exercício 18. (G. ex. 3.12) Frequentemente se encontra em livros a notação de<a(x) para a distribuição delta de Dirac de<a0. Além disso, é comum encontrarmos em textos de física a notação de<a(x-a) para a distribuição de<aa, a in R. Isto é motivado pelo seguinte cálculo heurístico:
integral-infty^infty de<a(x-a) phi(x) d x=integral-infty^infty de<a(x) phi(x+a) d x=phi(a)
para phi in Cc^infty(R).
Motive por um cálculo similar a fórmula de<a(a x)=|a| de<a(x), para a in R backslash0

Passo 1

O enunciado quer que, de forma análoga ao deslocamento de<a(x-a), a gente derive a relação entre de<a(a x) e de<a(x). O tema aqui é a distribuição de Dirac e o uso de mudança de variável sob o sinal de integral agindo sobre funções-teste phiin Cc^infty(R).

Passo 2

Definimos a ação de de<a(a x) sobre uma função-teste phi por
llang<= de<a(a x),phi(x)rrang<= =integral-infty^inftyde<a(a x),phi(x),dx

Passo 3

Fazemos a mudança de variável
u = a,x, x = ua, dx = dua
Como os limites -infty e +infty podem trocar de ordem se a<0, o fator dx passa a ser tfracdu|a|. Assim
integral-infty^inftyde<a(a x),phi(x),dx =integral-infty^inftyde<a(u),phi!l(tfracuar),du|a| =1|a|,phi(0),
pois de<a(u) “puxa” phi(u/a) para u=0.

Passo 4

Como lang<= de<a(x),phi(x)rang<==phi(0), a igualdade
llang<= de<a(a x),phi(x)rrang<= =1|a|,phi(0) =llang<= 1|a|,de<a(x),,phi(x)rrang<=
implica, em termos de distribuições,
boxedde<a(a x)=1|a|,de<a(x)

Resposta

de<a(a x)=1|a|,de<a(x).

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