P 2.5. Mostre que se
são matrizes
invertíveis, então a matriz
também o é, e determine uma expressão para
. (Sug.: inspire-se no problema anterior)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dadas matrizes invertíveis
de ordem
, o produto
é também invertível, e para obter uma fórmula para
.
Conteúdo: definição de matriz inversa e associatividade do produto matricial.
Conteúdo: definição de matriz inversa e associatividade do produto matricial.
Passo 2
Como cada
é invertível, existe uma matriz
tal que
Inspirados no caso de
, propomos como candidata a inversa de
a matriz
Passo 3
Vamos verificar que essa candidata realmente anula
à direita e à esquerda. Primeiro,
Pela associatividade, agrupamos cada par
:
De modo análogo,
Passo 4
Como encontramos uma matriz que é simultaneamente inversa à direita e à esquerda de
, pelo teorema da unicidade da inversa segue que
é invertível e