P 2.5. Mostre que se Aj(j=1,2, cdots, n) são matrizes m times m invertíveis, então a matriz B=A1 A2 cdots An também o é, e determine uma expressão para B^-1. (Sug.: inspire-se no problema anterior)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dadas matrizes invertíveis A1,A2,dots,An de ordem m, o produto
B = A1A2cdots An
é também invertível, e para obter uma fórmula para B^-1.
Conteúdo: definição de matriz inversa e associatividade do produto matricial.

Passo 2

Como cada Aj é invertível, existe uma matriz Aj^-1 tal que
AjAj^-1=Im e Aj^-1Aj=Im
Inspirados no caso de n=2, propomos como candidata a inversa de B a matriz
B^-1 ;=; An^-1,An-1^-1,cdots,A1^-1

Passo 3

Vamos verificar que essa candidata realmente anula B à direita e à esquerda. Primeiro,
B,B^-1 = (A1A2cdots An),(An^-1An-1^-1cdots A1^-1)
Pela associatividade, agrupamos cada par AjAj^-1:
B,B^-1 = A1l(A2cdots(AnAn^-1)An-1^-1cdots A1^-1r) = A1l(A2cdots Imcdots A1^-1r) =cdots = Im
De modo análogo,
B^-1B = (An^-1cdots A1^-1)(A1cdots An) = Im

Passo 4

Como encontramos uma matriz que é simultaneamente inversa à direita e à esquerda de B, pelo teorema da unicidade da inversa segue que B é invertível e
B^-1 = An^-1,An-1^-1,cdots,A1^-1

Resposta

B^-1 = An^-1,An-1^-1,cdots,A1^-1

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