Exercício 17. (G. ex. 3.10) Seja Omega subset R^n um aberto limitado com contorno suave ou Omega=R+^n.
a) Mostre que supp (partialxj chiOmega) subset partial Omega, em que chiOmega é a função característica do conjunto Omega.
b) Mostre que a distribuição -De<a chiOmega satisfaz -De<a chiOmega(phi)=-integralpartial Omega partial phipartial n d sigma, para todo phi in Cc^infty(R^n), em que n é a normal que aponta para fora de Omega. Determine a ordem e o suporte da distribuição no caso Omega=R+^n.

Passo 1

O enunciado trata de derivadas no sentido de distribuições da função característica chiOmega, de seu suporte e do cálculo de -De<achiOmega via integração por partes. Vamos precisar do conceito de suporte de uma distribuição, da definição de derivada fraca (distribucional) e do teorema da divergência para transformar integralOmegaDe<aphi num integral de contorno.

Passo 2

Seja T=partialxjchiOmega como distribuição em R^n. Dado um ponto x0notinpartialOmega, existe uma vizinhança aberta U de x0 que não intersecta partialOmega. Em U ou bem chiOmegaequiv1 (se UsubsetOmega) ou chiOmegaequiv0 (se UsubsetR^nsetminusoverlineOmega). Em qualquer desses casos, T anula toda phiin Cc^infty(U). Isso mostra que x0 pertence ao complemento do suporte de T. Logo
supp,l(partialxjchiOmegar);subset;partialOmega

Passo 3

Por definição de laplaciano na distribuição chiOmega, temos
De<achiOmega(phi) =chiOmega(De<aphi) =integralR^nchiOmega(x),De<aphi(x),dx =integralOmegaDe<aphi,dx
Assim
-,De<achiOmega(phi) =-integralOmegaDe<aphi,dx
Pelo teorema da divergência (ou integração por partes sem termo de volume, pois phi tem suporte compacto),
integralOmegaDe<aphi,dx =integralOmegadiv(nablaphi),dx =integralpartialOmeganablaphicdot n,dsigma =integralpartialOmegapartialphipartial n,dsigma
Portanto
-,De<achiOmega(phi) =-integralpartialOmegapartialphipartial n,dsigma,
como pedido.

Passo 4

No caso especial
onde é a função de Heaviside. Logo
Daí
e
Esse funcional é suportado em , é de ordem .

Resposta

Para Omega=R+^n, a distribuição -De<achiOmega tem suporte xn=0 e é de ordem 1.

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