Exercício 17. (G. ex. 3.10) Seja um aberto limitado com contorno suave ou .
a) Mostre que supp , em que é a função característica do conjunto .
b) Mostre que a distribuição satisfaz , para todo , em que é a normal que aponta para fora de . Determine a ordem e o suporte da distribuição no caso .
Passo 1
O enunciado trata de derivadas no sentido de distribuições da função característica , de seu suporte e do cálculo de via integração por partes. Vamos precisar do conceito de suporte de uma distribuição, da definição de derivada fraca (distribucional) e do teorema da divergência para transformar num integral de contorno.
Passo 2
Seja como distribuição em . Dado um ponto , existe uma vizinhança aberta de que não intersecta . Em ou bem (se ) ou (se ). Em qualquer desses casos, T anula toda phiin Cc^infty(U). Isso mostra que x0 pertence ao complemento do suporte de T. Logo
supp,l(partialxjchiOmegar);subset;partialOmega
Passo 3
Por definição de laplaciano na distribuição chiOmega, temos