Exercício 18.0.2. Mostre que a série dada é convergente.
\sum_{n=1}{\infty}(-1){n+1} \operatorname{sen}\left(\frac{1}{n}\right)

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\sin\!\left(\frac{1}{n}\right)
e pede para mostrar que essa série é convergente. Informações úteis extraídas do enunciado:
  • O sinal alterna porque aparece o fator (-1)^{n+1}.
  • Os termos “positivos” associados à alternância são a_n=\sin\!\left(\dfrac{1}{n}\right).
  • Para decidir sobre convergência vamos precisar analisar o comportamento da sequência \{a_n\}_{n\ge1}: sinal, monotonicidade e limite quando n\to\infty.

Passo 2

Estratégia: usar o Critério de Leibniz (critério da série alternada). Vou primeiro enunciar e explicar esse critério de forma didática.
Teorema (Critério de Leibniz para séries alternadas). Se \{a_n\} é uma sequência de números reais tais que:
  1. a_n\ge 0 para todo n;
  2. a_n é monotonicamente decrescente (isto é, a_{n+1}\le a_n para todo n);
  3. \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = 0;
    então a série \displaystyle\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} a_n converge.
Explicação simples do critério: quando os termos positivos diminuem para zero e os sinais alternam, as somas parciais “oscilem” cada vez menos e acabam se aproximando de um limite. Esse teste é feito em provas básicas e é bem prático na hora da prova porque só exige verificar três propriedades simples da sequência a_n.
Portanto, para aplicar o critério basta verificar (1), (2) e (3) com a_n=\sin\!\left(\dfrac{1}{n}\right).

Passo 3

Verificar que a_n\ge 0.
Para todo n\ge1 temos 0<\dfrac{1}{n}\le 1. Como 1<\dfrac{\pi}{2}, o argumento \dfrac{1}{n} pertence ao intervalo (0,\tfrac{\pi}{2}], onde a função seno é positiva. Assim
a_n=\sin\!\left(\frac{1}{n}\right)>0
para todo n. Isso prova (1).

Passo 4

Verificar que a_n é decrescente.
Observação: se m>n então \dfrac{1}{m}<\dfrac{1}{n}. A função \sin x é estritamente crescente em [0,\tfrac{\pi}{2}] porque sua derivada \cos x é não negativa nesse intervalo (mais precisamente, \cos x>0 para x\in(0,\tfrac{\pi}{2})). Como todos os \dfrac{1}{n} estão em (0,1]\subset(0,\tfrac{\pi}{2}], temos para m>n
\sin\!\left(\frac{1}{m}\right) < \sin\!\left(\frac{1}{n}\right).
Isso diz exatamente que a_{m}<a_n quando m>n, ou seja, a_n é decrescente. Assim (2) está verificada.
Se preferir uma explicação sem derivada: para 0<x<y\le1 é conhecido (e fácil de aceitar na prova) que \sin x<\sin y; aplicando com x=\tfrac{1}{m} e y=\tfrac{1}{n} obtém-se o mesmo resultado.

Passo 5

Verificar que \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = 0.
Usamos a desigualdade clássica para x\ge0:
0\le \sin x \le x.
Aplicando com x=\dfrac{1}{n} obtemos
0\le \sin\!\left(\frac{1}{n}\right) \le \frac{1}{n}.
Como \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0, pelo Teorema do Confronto (squeeze theorem) segue que
\lim_{n\to\infty}\sin\!\left(\frac{1}{n}\right)=0.
Portanto (3) está verificada.

Passo 6

Aplicação do Critério de Leibniz.
Já mostramos que a_n=\sin\!\left(\dfrac{1}{n}\right) é positiva, decrescente e tende a zero. Pelas hipóteses do Critério de Leibniz, a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\sin\!\left(\frac{1}{n}\right)
converge. Dica prática para prova: basta mencionar explicitamente as três propriedades e citar o critério — isso resolve rapidamente na prova.
Além disso, uma observação útil (opcional): o resto após N termos da série alternada em que os a_n são decrescentes e tendem a zero tem módulo menor que a_{N+1}. Ou seja, um controle de erro simples é
\left| \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}\sin\!\left(\frac{1}{n}\right) - \sum_{n=1}^N (-1)^{n+1}\sin\!\left(\frac{1}{n}\right)\right| \le \sin\!\left(\frac{1}{N+1}\right).

Passo 7

Comentário extra (importante na hora da prova): convergência condicional vs. absoluta.
É natural perguntar se a série converge absolutamente, ou seja, se \sum_{n=1}^\infty \left|\sin\!\left(\dfrac{1}{n}\right)\right| converge. Usando o limite notório
\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1,
temos, fazendo x=\dfrac{1}{n},
\lim_{n\to\infty} \frac{\sin\!\left(\frac{1}{n}\right)}{\frac{1}{n}} = 1.
Isso mostra que \sin\!\left(\dfrac{1}{n}\right) é assintoticamente equivalente a \dfrac{1}{n}. Pelo teste da comparação limite com a série harmônica \sum \dfrac{1}{n} (que diverge), concluímos que
\sum_{n=1}^\infty \left|\sin\!\left(\frac{1}{n}\right)\right|
diverge. Logo a série original não converge absolutamente; sua convergência é condicional.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\sin\!\left(\dfrac{1}{n}\right) converge (convergência condicional).

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