e pede para mostrar que essa série é convergente. Informações úteis extraídas do enunciado:
O sinal alterna porque aparece o fator (-1)^{n+1}.
Os termos “positivos” associados à alternância são a_n=\sin\!\left(\dfrac{1}{n}\right).
Para decidir sobre convergência vamos precisar analisar o comportamento da sequência \{a_n\}_{n\ge1}: sinal, monotonicidade e limite quando n\to\infty.
Passo 2
Estratégia: usar o Critério de Leibniz (critério da série alternada). Vou primeiro enunciar e explicar esse critério de forma didática.
Teorema (Critério de Leibniz para séries alternadas). Se \{a_n\} é uma sequência de números reais tais que:
a_n\ge 0 para todo n;
a_n é monotonicamente decrescente (isto é, a_{n+1}\le a_n para todo n);
\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = 0;
então a série \displaystyle\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} a_n converge.
Explicação simples do critério: quando os termos positivos diminuem para zero e os sinais alternam, as somas parciais “oscilem” cada vez menos e acabam se aproximando de um limite. Esse teste é feito em provas básicas e é bem prático na hora da prova porque só exige verificar três propriedades simples da sequência a_n.
Portanto, para aplicar o critério basta verificar (1), (2) e (3) com a_n=\sin\!\left(\dfrac{1}{n}\right).
Passo 3
Verificar que a_n\ge 0.
Para todo n\ge1 temos 0<\dfrac{1}{n}\le 1. Como 1<\dfrac{\pi}{2}, o argumento \dfrac{1}{n} pertence ao intervalo (0,\tfrac{\pi}{2}], onde a função seno é positiva. Assim
a_n=\sin\!\left(\frac{1}{n}\right)>0
para todo n. Isso prova (1).
Passo 4
Verificar que a_n é decrescente.
Observação: se m>n então \dfrac{1}{m}<\dfrac{1}{n}. A função \sin x é estritamente crescente em [0,\tfrac{\pi}{2}] porque sua derivada \cos x é não negativa nesse intervalo (mais precisamente, \cos x>0 para x\in(0,\tfrac{\pi}{2})). Como todos os \dfrac{1}{n} estão em (0,1]\subset(0,\tfrac{\pi}{2}], temos para m>n
Isso diz exatamente que a_{m}<a_n quando m>n, ou seja, a_n é decrescente. Assim (2) está verificada.
Se preferir uma explicação sem derivada: para 0<x<y\le1 é conhecido (e fácil de aceitar na prova) que \sin x<\sin y; aplicando com x=\tfrac{1}{m} e y=\tfrac{1}{n} obtém-se o mesmo resultado.
Passo 5
Verificar que \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = 0.
converge. Dica prática para prova: basta mencionar explicitamente as três propriedades e citar o critério — isso resolve rapidamente na prova.
Além disso, uma observação útil (opcional): o resto após N termos da série alternada em que os a_n são decrescentes e tendem a zero tem módulo menor que a_{N+1}. Ou seja, um controle de erro simples é
Comentário extra (importante na hora da prova): convergência condicional vs. absoluta.
É natural perguntar se a série converge absolutamente, ou seja, se \sum_{n=1}^\infty \left|\sin\!\left(\dfrac{1}{n}\right)\right| converge. Usando o limite notório
Isso mostra que \sin\!\left(\dfrac{1}{n}\right) é assintoticamente equivalente a \dfrac{1}{n}. Pelo teste da comparação limite com a série harmônica \sum \dfrac{1}{n} (que diverge), concluímos que