Determine o deslocamento de uma corda de 40 cm , presa nas extremidados, com coeficiente a=2, nos seguintes casos:
com deslocamento inicial dado por f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x, & 0 \leq x \leq 10, \\\\ 10, & 10 \leq x<30, \\\\ 40-x, & 30 \leq x \leq 40,\end{array}\right. e velocidade inicial dada por g(x)=\sin (\pi x / 20)

Passo 1

O enunciado dá uma corda de comprimento 40\\ \text{cm}\) com as extremidades presas (portanto deslocamento nulo nas extremidades) e velocidade de propagação (coeficiente) \(a=2\). Os dados iniciais são: - deslocamento inicial \[f(x)=\begin{cases} x, & 0\le x\le 10,\\[4pt] 10, & 10\le x<30,\\[4pt] 40-x, & 30\le x\le 40, \end{cases}
  • velocidade inicial
g(x)=\sin\!\left(\frac{\pi x}{20}\right).
O que o problema pede: determinar o deslocamento u(x,t)\] da corda para \(0\le x\le 40 e t\ge 0, satisfazendo as condições de contorno u(0,t)=u(40,t)=0 e as condições iniciais u(x,0)=f(x), u_t(x,0)=g(x).]

Passo 2

Vamos escrever o problema clássico da corda vibrante: a equação da onda unidimensional com velocidade a,
u_{tt}=a^2 u_{xx},\qquad 0<x<40,\; t>0,
com contorno
u(0,t)=0,\qquad u(40,t)=0,
e condições iniciais
u(x,0)=f(x),\qquad u_t(x,0)=g(x).
Uma técnica padrão e adequada aqui é expandir u numa série de senos (modos normais) que satisfazem as condições de contorno. Ou seja, procurar
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\Big(A_n\cos(\omega_n t)+B_n\sin(\omega_n t)\Big)\sin(k_n x),
onde os modos espaciais e frequências são
k_n=\frac{n\pi}{40},\qquad \omega_n=a k_n=\frac{n\pi a}{40}=\frac{n\pi}{20},
pois a=2. Vou explicar por que essa forma funciona.

Passo 3

Por que usar senos e essa série? Cada termo \sin(k_n x) satisfaz \sin(k_n\cdot 0)=0 e \sin(k_n\cdot 40)=\sin(n\pi)=0, portanto satisfaz as condições de contorno. A separação de variáveis leva a soluções do tipo produto espaço-tempo com frequência \omega_n e forma espacial \sin(k_n x). A série combina todos os modos possíveis ( n=1,2,\dots ) para reconstruir a condição inicial. Para encontrar os coeficientes A_n e B_n usamos as condições iniciais e a ortogonalidade dos senos no intervalo [0,40]:
\int_0^{40}\sin(k_n x)\sin(k_m x)\,dx=\begin{cases}0,& n\ne m,\\[4pt]\dfrac{40}{2}=20,& n=m.\end{cases}]

Passo 4

Determine A_n. Da condição u(x,0)=f(x) obtemos
f(x)=\sum_{n=1}^\infty A_n\sin(k_n x).
Multiplicando por \sin(k_n x) e integrando em [0,40], pela ortogonalidade:
A_n=\frac{2}{40}\int_0^{40} f(x)\sin(k_n x)\,dx=\frac{1}{20}\int_0^{40} f(x)\sin(k_n x)\,dx.
Agora calculamos a integral usando a definição de f(x) por partes. Escrevemos
I_n=\int_0^{40} f(x)\sin(k_n x)\,dx =\int_0^{10} x\sin(kx)\,dx+\int_{10}^{30}10\sin(kx)\,dx+\int_{30}^{40}(40-x)\sin(kx)\,dx,
onde, para compactar, pus k=k_n=\dfrac{n\pi}{40}.

Passo 5

Calcule cada integral explicitamente (vou mostrar as contas passo a passo).
  1. \displaystyle \int_0^{10} x\sin(kx)\,dx. Usando integração por partes ou fórmula conhecida,
\int x\sin(kx)\,dx=-\frac{x\cos(kx)}{k}+\frac{\sin(kx)}{k^2}.
Avaliado de 0 a 10
I_{1}=-\frac{10\cos(10k)}{k}+\frac{\sin(10k)}{k^2}.
  1. \displaystyle \int_{10}^{30}10\sin(kx)\,dx=10\left[-\frac{\cos(kx)}{k}\right]_{10}^{30}=\frac{10}{k}\big(\cos(10k)-\cos(30k)\big).
  2. \displaystyle \int_{30}^{40}(40-x)\sin(kx)\,dx. Observe que
\int (40-x)\sin(kx)\,dx=40\left(-\frac{\cos(kx)}{k}\right)-\left(-\frac{x\cos(kx)}{k}+\frac{\sin(kx)}{k^2}\right) =\frac{(x-40)\cos(kx)}{k}-\frac{\sin(kx)}{k^2}.
Avaliado de 30 a 40 resulta em
I_{3}=10\frac{\cos(30k)}{k}+\frac{\sin(30k)-\sin(40k)}{k^2}.

Passo 6

Some I_1+I_2+I_3. Agrupando termos em \cos e \sin (e lembrando \sin(40k)=\sin(n\pi)=0):
  • Os termos em \dfrac{\cos(\cdot)}{k} se cancelam (verifica-se explicitamente ao somar I_1,I_2,I_3).
  • Restam apenas termos em 1/k^2:
I_n=\frac{\sin(10k)+\sin(30k)-\sin(40k)}{k^2}=\frac{\sin\!\left(\frac{n\pi}{4}\right)+\sin\!\left(\frac{3n\pi}{4}\right)}{k^2},
pois 10k=\dfrac{10n\pi}{40}=\dfrac{n\pi}{4} e 30k=\dfrac{3n\pi}{4}. Como \sin(40k)=0 isto simplifica ainda:
I_n=\frac{2\sin\!\left(\dfrac{n\pi}{2}\right)\cos\!\left(\dfrac{n\pi}{4}\right)}{k^2},
usando a identidade \sin\alpha+\sin\beta=2\sin\!\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\!\left(\dfrac{\alpha-\beta}{2}\right).

Passo 7

Substitua k^2=\dfrac{n^2\pi^2}{40^2}=\dfrac{n^2\pi^2}{1600}. Assim
I_n=\;2\sin\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)\cos\!\left(\frac{n\pi}{4}\right)\cdot\frac{1600}{n^2\pi^2} =\frac{3200}{n^2\pi^2}\sin\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)\cos\!\left(\frac{n\pi}{4}\right).
Logo
A_n=\frac{1}{20}I_n=\frac{160}{n^2\pi^2}\sin\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)\cos\!\left(\frac{n\pi}{4}\right).
Observação prática: \sin\!\left(\dfrac{n\pi}{2}\right)=0 quando n é par, portanto A_n=0 para todo n par. Para n ímpar o produto \sin(\tfrac{n\pi}{2})\cos(\tfrac{n\pi}{4}) vale \pm \dfrac{\sqrt{2}}{2}; assim A_n é proporcional a \dfrac{1}{n^2} para as harmonias ímpares.

Passo 8

Determine B_n\) a partir de \(u_t(x,0)=g(x)\). Da série, \[u_t(x,0)=\sum_{n=1}^\infty B_n\omega_n\sin(k_n x)=g(x).
Multiplicando por \sin(k_n x) e integrando,
B_n=\frac{2}{40\omega_n}\int_0^{40} g(x)\sin(k_n x)\,dx.
Aqui g(x)=\sin\!\left(\dfrac{\pi x}{20}\right)=\sin\big(k_2 x\big), porque k_2=\dfrac{2\pi}{40}=\dfrac{\pi}{20}. Pela ortogonalidade,
\int_0^{40}\sin(k_2 x)\sin(k_n x)\,dx=\begin{cases}20,& n=2,\\[4pt]0,& n\ne 2.\end{cases}
Logo, para n\ne 2\] tem-se \(B_n=0, e para n=2
B_2=\frac{2}{40\omega_2}\cdot 20=\frac{1}{\omega_2}.
Como \omega_2=\dfrac{2\pi}{20}=\dfrac{\pi}{10}, obtemos
B_2=\frac{1}{\omega_2}=\frac{10}{\pi}.]

Passo 9

Agora junte tudo: a solução da corda é a série de modos
u(x,t)=\sum_{n=1}^\infty\Big(A_n\cos(\omega_n t)+B_n\sin(\omega_n t)\Big)\sin(k_n x),
com
k_n=\frac{n\pi}{40},\qquad \omega_n=\frac{n\pi}{20},
A_n=\frac{160}{n^2\pi^2}\sin\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)\cos\!\left(\frac{n\pi}{4}\right), \qquad B_n=\begin{cases}\dfrac{10}{\pi},& n=2,\\[4pt]0,& n\ne 2.\end{cases}
Se quiser obter termos explícitos: somente os n ímpares têm A_n\ne 0; entre os B_n apenas B_2 é não nulo (ou seja, a velocidade inicial excita apenas o 2.º modo).]

Resposta

u(x,t)=\sum_{n=1}^\infty\Bigg(\frac{160}{n^2\pi^2}\sin\!\Big(\frac{n\pi}{2}\Big)\cos\!\Big(\frac{n\pi}{4}\Big)\cos\!\Big(\frac{n\pi}{20}t\Big) +\;B_n\sin\!\Big(\frac{n\pi}{20}t\Big)\Bigg)\sin\!\Big(\frac{n\pi x}{40}\Big),
com
B_n=\begin{cases}\dfrac{10}{\pi},& n=2,\\[4pt]0,& n\ne 2,\end{cases} \qquad \text{e}\qquad A_n=\frac{160}{n^2\pi^2}\sin\!\Big(\frac{n\pi}{2}\Big)\cos\!\Big(\frac{n\pi}{4}\Big).]

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