Determine o deslocamento de uma corda de 40 cm , presa nas extremidados, com coeficiente a=2, nos seguintes casos:
com deslocamento inicial dado por f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x, & 0 \leq x \leq 10, \\\\ 10, & 10 \leq x<30, \\\\ 40-x, & 30 \leq x \leq 40,\end{array}\right. e velocidade inicial dada por g(x)=\sin (\pi x / 20)
Passo 1
O enunciado dá uma corda de comprimento 40\\ \text{cm}\) com as extremidades presas (portanto deslocamento nulo nas extremidades) e velocidade de propagação (coeficiente) \(a=2\). Os dados iniciais são:
- deslocamento inicial
\[f(x)=\begin{cases} x, & 0\le x\le 10,\\[4pt] 10, & 10\le x<30,\\[4pt] 40-x, & 30\le x\le 40, \end{cases}
velocidade inicial
g(x)=\sin\!\left(\frac{\pi x}{20}\right).
O que o problema pede: determinar o deslocamento u(x,t)\] da corda para \(0\le x\le 40 e t\ge 0, satisfazendo as condições de contorno u(0,t)=u(40,t)=0 e as condições iniciais u(x,0)=f(x), u_t(x,0)=g(x).]
Passo 2
Vamos escrever o problema clássico da corda vibrante: a equação da onda unidimensional com velocidade a,
u_{tt}=a^2 u_{xx},\qquad 0<x<40,\; t>0,
com contorno
u(0,t)=0,\qquad u(40,t)=0,
e condições iniciais
u(x,0)=f(x),\qquad u_t(x,0)=g(x).
Uma técnica padrão e adequada aqui é expandir u numa série de senos (modos normais) que satisfazem as condições de contorno. Ou seja, procurar
pois a=2. Vou explicar por que essa forma funciona.
Passo 3
Por que usar senos e essa série? Cada termo \sin(k_n x) satisfaz \sin(k_n\cdot 0)=0 e \sin(k_n\cdot 40)=\sin(n\pi)=0, portanto satisfaz as condições de contorno. A separação de variáveis leva a soluções do tipo produto espaço-tempo com frequência \omega_n e forma espacial \sin(k_n x). A série combina todos os modos possíveis ( n=1,2,\dots ) para reconstruir a condição inicial. Para encontrar os coeficientes A_n e B_n usamos as condições iniciais e a ortogonalidade dos senos no intervalo [0,40]:
Observação prática: \sin\!\left(\dfrac{n\pi}{2}\right)=0 quando n é par, portanto A_n=0 para todo n par. Para n ímpar o produto \sin(\tfrac{n\pi}{2})\cos(\tfrac{n\pi}{4}) vale \pm \dfrac{\sqrt{2}}{2}; assim A_n é proporcional a \dfrac{1}{n^2} para as harmonias ímpares.
Passo 8
Determine B_n\) a partir de \(u_t(x,0)=g(x)\). Da série,
\[u_t(x,0)=\sum_{n=1}^\infty B_n\omega_n\sin(k_n x)=g(x).
Se quiser obter termos explícitos: somente os n ímpares têm A_n\ne 0; entre os B_n apenas B_2 é não nulo (ou seja, a velocidade inicial excita apenas o 2.º modo).]