Determine o deslocamento de uma corda de 40 cm , presa nas extremidados, com coeficiente a=2, nos seguintes casos:
com deslocamento inicial dado por f(x)=\sin (\pi x / 20) e velocidade inicial dada por g(x)=\left\{\begin{array}{ll}x, & 0 \leq x \leq 10, \\\\ 10, & 10 \leq x<30, \\\\ 40-x, & 30 \leq x \leq 40,\end{array}\right..

Passo 1

O enunciado pede: determinar o deslocamento u(x,t)\) de uma corda de comprimento \(40\\ \text{cm}\) fixa nas extremidades, sujeita à equação da onda com coeficiente \(a=2\), com condições iniciais de deslocamento e velocidade dadas por \[f(x)=\sin\!\left(\frac{\pi x}{20}\right)
e
g(x)=\begin{cases} x, & 0\le x\le 10,\\[4pt] 10, & 10\le x<30,\\[4pt] 40-x, & 30\le x\le 40. \end{cases}
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • Comprimento da corda: L=40\]. - Condições de contorno: \(u(0,t)=u(40,t)=0 (corda presa nas extremidades).
    - Velocidade de propagação (coeficiente): a=2.
    - Função inicial f(x) e g(x) conforme acima.
O que é pedido explicitamente: encontrar u(x,t) para 0\le x\le 40, t\ge0.]

Passo 2

Estratégia de resolução (sem entrar em contas ainda): para a equação da onda em uma corda fixa com contorno nulo usa-se a expansão em séries de senos (modos normais). A solução geral (série de Fourier senoidal) para
u_{tt}=a^{2}u_{xx},\qquad u(0,t)=u(L,t)=0,
com condições iniciais u(x,0)=f(x) e u_t(x,0)=g(x), é
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(A_n\cos(\omega_n t)+B_n\sin(\omega_n t)\Bigr)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right),
onde
\omega_n=\frac{n\pi a}{L},
e os coeficientes são calculados por ortogonalidade das funções \sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right):
A_n=\frac{2}{L}\int_{0}^{L} f(x)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx, \qquad B_n=\frac{2}{L\omega_n}\int_{0}^{L} g(x)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx.
Explico o que cada símbolo significa:
  • L=40 é o comprimento da corda.
  • n é o índice do modo (modo n tem a forma espacial \sin(n\pi x/L)).
  • \omega_n é a frequência angular do modo n.
  • A_n fixa a amplitude inicial do modo n a partir de f.
  • B_n fixa a amplitude inicial do modo n a partir de g.
Agora vamos calcular A_n e B_n para nosso f e g.

Passo 3

Cálculo dos coeficientes A_n (contribuição da condição inicial f).
Aqui L=40 e f(x)=\sin\!\left(\dfrac{\pi x}{20}\right). Note que
\sin\!\left(\frac{\pi x}{20}\right)=\sin\!\left(\frac{2\pi x}{40}\right)=\sin\!\left(\frac{2\pi x}{L}\right),
ou seja, f é exatamente o modo n=2 com amplitude 1. Pela ortogonalidade dos senos temos
A_n=\frac{2}{40}\int_0^{40} \sin\!\left(\frac{2\pi x}{40}\right)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{40}\right)\,dx.
Por ortogonalidade a integral é zero quando n\neq 2, e para n=2
\int_0^{40}\sin^2\!\left(\frac{2\pi x}{40}\right)\,dx=\frac{40}{2}=20.
Logo
A_2=\frac{2}{40}\cdot 20=1, \qquad A_n=0\\ \text{para } n\neq 2.
Interpretação prática: a condição inicial de deslocamento excita apenas o segundo modo com amplitude inicial 1.

Passo 4

Cálculo dos coeficientes B_n (contribuição da condição inicial g).
Recordando a fórmula e substituindo \omega_n=\dfrac{n\pi a}{L}=\dfrac{n\pi\cdot 2}{40}=\dfrac{n\pi}{20}, temos
B_n=\frac{2}{L\omega_n}\int_0^{L} g(x)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx =\frac{2}{40}\cdot\frac{20}{n\pi}\int_0^{40} g(x)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{40}\right)\,dx.
Aqui \dfrac{2}{40}\cdot\dfrac{20}{n\pi}=\dfrac{1}{n\pi}. Logo fica a forma simples
B_n=\frac{1}{n\pi}\int_0^{40} g(x)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{40}\right)\,dx.
Vamos calcular a integral, lembrando que g é peça‑por‑peça:
I_n:=\int_0^{40} g(x)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{40}\right)\,dx =\int_0^{10} x\sin(\alpha x)\,dx +\int_{10}^{30} 10\sin(\alpha x)\,dx +\int_{30}^{40} (40-x)\sin(\alpha x)\,dx,
onde eu usei \alpha=\dfrac{n\pi}{40} para enxugar a notação.
Agora faço as integrais separadas (mostro passo a passo porque essa parte costuma confundir):
  1. Primeira integral (integração por partes):
\int_0^{10} x\sin(\alpha x)\,dx = \Bigl[-\frac{x\cos(\alpha x)}{\alpha}+\frac{\sin(\alpha x)}{\alpha^2}\Bigr]_{0}^{10} = -\frac{10\cos(10\alpha)}{\alpha}+\frac{\sin(10\alpha)}{\alpha^2}.
  1. Segunda integral (antiderivada direta):
\int_{10}^{30} 10\sin(\alpha x)\,dx = \frac{10}{\alpha}\bigl(\cos(10\alpha)-\cos(30\alpha)\bigr).
  1. Terceira integral (integração por partes com u=40-x):
\int_{30}^{40}(40-x)\sin(\alpha x)\,dx = \Bigl[\frac{(40-x)(- \cos(\alpha x))}{\alpha}\Bigr]_{30}^{40} - \frac{1}{\alpha^2}\bigl(\sin(40\alpha)-\sin(30\alpha)\bigr).
Avaliação simplifica porque \sin(40\alpha)=\sin(n\pi)=0. Fazendo as contas chegamos a
\int_{30}^{40}(40-x)\sin(\alpha x)\,dx = \frac{10\cos(30\alpha)}{\alpha} + \frac{\sin(30\alpha)}{\alpha^2}.
Somando as três parcelas, os termos com 1/\alpha se cancelam (mostro o cancelamento explícito na conta: os coeficientes de \cos(10\alpha) e \cos(30\alpha) somam zero), sobrando apenas os termos em 1/\alpha^2. Assim
I_n=\frac{\sin(10\alpha)+\sin(30\alpha)}{\alpha^2}.
Lembrando \alpha=\dfrac{n\pi}{40}, temos \alpha^2=\dfrac{n^2\pi^2}{1600}, então
I_n=\frac{1600}{n^2\pi^2}\bigl(\sin(10\alpha)+\sin(30\alpha)\bigr).
Voltando a B_n=\dfrac{1}{n\pi}I_n, obtemos
B_n=\frac{1600}{n^3\pi^3}\bigl(\sin(10\alpha)+\sin(30\alpha)\bigr).
Podemos simplificar as somas de seno usando a identidade \sin A+\sin B=2\sin\!\bigl(\tfrac{A+B}{2}\bigr)\cos\!\bigl(\tfrac{A-B}{2}\bigr). Aqui 10\alpha=\dfrac{10n\pi}{40}=\dfrac{n\pi}{4} e 30\alpha=\dfrac{3n\pi}{4}. Logo
\sin(10\alpha)+\sin(30\alpha)=2\sin\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)\cos\!\left(\frac{n\pi}{4}\right).
Substituindo:
B_n=\frac{3200}{n^3\pi^3}\,\sin\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)\cos\!\left(\frac{n\pi}{4}\right).
Nota importante (muito útil para a prova): \sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)=0 sempre que n é par. Portanto todos os B_n com n par são nulos. Assim a contribuição de g excita apenas os modos de índice ímpar; já f excitou apenas o modo n=2 (par). Isso simplifica bastante a série.
Ainda mais: para n ímpar o produto \sin(\tfrac{n\pi}{2})\cos(\tfrac{n\pi}{4}) vale valores simples envolvendo \pm\frac{\sqrt{2}}{2}, por exemplo
B_1=\frac{1600\sqrt{2}}{\pi^3},\qquad B_3=\frac{1600\sqrt{2}}{27\pi^3},\qquad B_5=-\frac{1600\sqrt{2}}{125\pi^3},\\ \ldots
(com alternância de sinal conforme n módulo 8).

Passo 5

Agora escrevo a solução completa juntando o A_n\) e o \(B_n\). Recordando \(\omega_n=\dfrac{n\pi a}{L}=\dfrac{n\pi}{20}\), temos \[u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(A_n\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi}{20}t\bigr)+B_n\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{20}t\bigr)\Bigr)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{40}\right),
com os coeficientes já determinados:
A_n=\begin{cases} 1, & n=2,\\[4pt] 0, & n\neq 2, \end{cases} \qquad B_n=\frac{3200}{n^3\pi^3}\,\sin\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)\cos\!\left(\frac{n\pi}{4}\right).
Como comentário prático: a série efetivamente se escreve como soma do modo n=2\] (vindo de \(f) mais uma soma sobre n ímpares (vindo de g), porque B_n=0 para n par.]

Resposta

u(x,t)=\cos\!\left(\frac{\pi}{10}t\right)\sin\!\left(\frac{\pi x}{20}\right) +\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3200}{n^3\pi^3}\,\sin\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)\cos\!\left(\frac{n\pi}{4}\right)\, \sin\!\left(\frac{n\pi}{20}t\right)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{40}\right).

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