Determine o deslocamento de uma corda de 40 cm , presa nas extremidados, com coeficiente a=2, nos seguintes casos:
com deslocamento inicial dado por f(x)=\sin (\pi x / 20) e velocidade inicial dada por g(x)=\left\{\begin{array}{ll}x, & 0 \leq x \leq 10, \\\\ 10, & 10 \leq x<30, \\\\ 40-x, & 30 \leq x \leq 40,\end{array}\right..
Passo 1
O enunciado pede: determinar o deslocamento u(x,t)\) de uma corda de comprimento \(40\\ \text{cm}\) fixa nas extremidades, sujeita à equação da onda com coeficiente \(a=2\), com condições iniciais de deslocamento e velocidade dadas por
\[f(x)=\sin\!\left(\frac{\pi x}{20}\right)
Comprimento da corda: L=40\].
- Condições de contorno: \(u(0,t)=u(40,t)=0 (corda presa nas extremidades).
- Velocidade de propagação (coeficiente): a=2.
- Função inicial f(x) e g(x) conforme acima.
O que é pedido explicitamente: encontrar u(x,t) para 0\le x\le 40, t\ge0.]
Passo 2
Estratégia de resolução (sem entrar em contas ainda): para a equação da onda em uma corda fixa com contorno nulo usa-se a expansão em séries de senos (modos normais). A solução geral (série de Fourier senoidal) para
u_{tt}=a^{2}u_{xx},\qquad u(0,t)=u(L,t)=0,
com condições iniciais u(x,0)=f(x) e u_t(x,0)=g(x), é
Somando as três parcelas, os termos com 1/\alpha se cancelam (mostro o cancelamento explícito na conta: os coeficientes de \cos(10\alpha) e \cos(30\alpha) somam zero), sobrando apenas os termos em 1/\alpha^2. Assim
Podemos simplificar as somas de seno usando a identidade \sin A+\sin B=2\sin\!\bigl(\tfrac{A+B}{2}\bigr)\cos\!\bigl(\tfrac{A-B}{2}\bigr). Aqui 10\alpha=\dfrac{10n\pi}{40}=\dfrac{n\pi}{4} e 30\alpha=\dfrac{3n\pi}{4}. Logo
Nota importante (muito útil para a prova): \sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)=0 sempre que n é par. Portanto todos os B_n com n par são nulos. Assim a contribuição de g excita apenas os modos de índice ímpar; já f excitou apenas o modo n=2 (par). Isso simplifica bastante a série.
Ainda mais: para n ímpar o produto \sin(\tfrac{n\pi}{2})\cos(\tfrac{n\pi}{4}) vale valores simples envolvendo \pm\frac{\sqrt{2}}{2}, por exemplo
Agora escrevo a solução completa juntando o A_n\) e o \(B_n\). Recordando \(\omega_n=\dfrac{n\pi a}{L}=\dfrac{n\pi}{20}\), temos
\[u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(A_n\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi}{20}t\bigr)+B_n\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{20}t\bigr)\Bigr)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{40}\right),
Como comentário prático: a série efetivamente se escreve como soma do modo n=2\] (vindo de \(f) mais uma soma sobre n ímpares (vindo de g), porque B_n=0 para n par.]