Exercício 18.0.2. Mostre que a série dada é convergente.
\sum_{n=1}{\infty}(-1){n+1} 2^{-n}
Passo 1
O enunciado nos dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}2^{-n}.
O que se pede: mostrar que essa série é convergente. Vou listar claramente as informações dadas:
O termo geral da série é a_n = (-1)^{n+1}2^{-n}.
Não foi pedido explicitamente o valor da soma, apenas provar convergência.
Passo 2
Definição e estratégia (em linguagem simples). Vou usar o conceito de convergência absoluta porque ele é direto e forte: uma série \sum a_n é dita convergir absolutamente se
\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|
converge. Teorema importante (que aceitamos aqui): se \sum |a_n| converge então \sum a_n também converge (isso se chama “convergência absoluta implica convergência”). A vantagem é que trabalhar com |a_n| tira o sinal alternado e fica mais fácil comparar com séries conhecidas.
Passo 3
Calcular o módulo dos termos. Para o nosso a_n temos
|a_n| = \left|(-1)^{n+1}2^{-n}\right| = 2^{-n}.
Ou seja, os módulos dos termos são exatamente \,2^{-n}\,.
Passo 4
Reconhecer uma série geométrica. A série das magnitudes é
Portanto \sum_{n=1}^{\infty}|a_n|=1<\infty. Conclusão imediata pelo teorema citado: a série \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}2^{-n} converge absolutamente e, em particular, converge.
Passo 6
(Aula rápida e extra — cálculo da soma exata, caso interesse.) Podemos também calcular a soma da série original. Note que