Exercício 18.0.2. Mostre que a série dada é convergente.
\sum_{n=1}{\infty}(-1){n+1} 2^{-n}

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}2^{-n}.
O que se pede: mostrar que essa série é convergente. Vou listar claramente as informações dadas:
  • O termo geral da série é a_n = (-1)^{n+1}2^{-n}.
  • Não foi pedido explicitamente o valor da soma, apenas provar convergência.

Passo 2

Definição e estratégia (em linguagem simples). Vou usar o conceito de convergência absoluta porque ele é direto e forte: uma série \sum a_n é dita convergir absolutamente se
\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|
converge. Teorema importante (que aceitamos aqui): se \sum |a_n| converge então \sum a_n também converge (isso se chama “convergência absoluta implica convergência”). A vantagem é que trabalhar com |a_n| tira o sinal alternado e fica mais fácil comparar com séries conhecidas.

Passo 3

Calcular o módulo dos termos. Para o nosso a_n temos
|a_n| = \left|(-1)^{n+1}2^{-n}\right| = 2^{-n}.
Ou seja, os módulos dos termos são exatamente \,2^{-n}\,.

Passo 4

Reconhecer uma série geométrica. A série das magnitudes é
\sum_{n=1}^{\infty} 2^{-n} = \sum_{n=1}^{\infty} \left(\tfrac{1}{2}\right)^{n},
que é uma série geométrica com razão r=\tfrac{1}{2}. Lembrando a fórmula da soma de uma série geométrica (quando |r|<1):
\sum_{n=1}^{\infty} r^{n}=\frac{r}{1-r}.
Breve justificativa da fórmula: se S=\sum_{n=1}^{\infty}r^n então rS=\sum_{n=2}^{\infty}r^n. Subtraindo, S-rS=r, logo S=\dfrac{r}{1-r}.

Passo 5

Aplicar a fórmula com r=\tfrac{1}{2}. Assim
\sum_{n=1}^{\infty}2^{-n}=\frac{\tfrac{1}{2}}{1-\tfrac{1}{2}}=\frac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{1}{2}}=1.
Portanto \sum_{n=1}^{\infty}|a_n|=1<\infty. Conclusão imediata pelo teorema citado: a série \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}2^{-n} converge absolutamente e, em particular, converge.

Passo 6

(Aula rápida e extra — cálculo da soma exata, caso interesse.) Podemos também calcular a soma da série original. Note que
(-1)^{n+1}2^{-n} = -\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)^{n}.
Logo, tomando r=-\tfrac{1}{2},
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}2^{-n} = -\sum_{n=1}^{\infty}\left(-\tfrac{1}{2}\right)^{n} = -\frac{-\tfrac{1}{2}}{1-(-\tfrac{1}{2})} = \frac{1}{3}.
Isto é compatível com os somatórios parciais que se aproximam de 0{,}333\ldots.

Resposta

A série converge absolutamente (logo converge).

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