Exercício 20: Um lote de componentes eletrônicos contém 20 itens, dos quais 5 são defeituosos.Seleciona-se ao acaso uma amostra de 5 itens. Calcule a probabilidade de que a amostra contenha no máximo um item defeituoso se
a amostragem é feita com reposição.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
  • Temos um lote com 20 itens, dos quais 5 são defeituosos.
  • Seleciona-se ao acaso uma amostra de 5 itens com reposição.
  • A pergunta: calcular a probabilidade de que a amostra contenha no máximo um item defeituoso, isto é, de que haja 0 ou 1 defeituoso entre os 5 itens.

Passo 2

Por que modelar desse jeito? Explicação didática do conceito usado.
  • Como a amostragem é feita com reposição, cada retirada não altera a composição do lote. Isso significa que cada item retirado tem a mesma probabilidade de ser defeituoso, e as retiradas são independentes entre si.
  • Quando temos um número fixo de ensaios independentes ( n retiradas), cada ensaio tem duas categorias (defeituoso = “sucesso”, não defeituoso = “fracasso”) e probabilidade constante de sucesso p, a variável que conta o número de sucessos segue a distribuição binomial.
  • A distribuição binomial é usada exatamente para esses casos. Se X é o número de itens defeituosos em n provas independentes com probabilidade p de defeito por prova, então a fórmula é:
P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{\,n-k},
onde \binom{n}{k} é o coeficiente binomial que conta de quantas formas podemos escolher quais k ensaios dentre n dão sucesso.
  • Aqui: n=5 (tamanho da amostra) e p= probabilidade de defeito numa retirada. Vamos calcular p.

Passo 3

Calcular a probabilidade de defeito em uma única retirada e escrever a variável aleatória.
  • A probabilidade de um item ser defeituoso ao retirar um item do lote é
p=\frac{5}{20}=\frac{1}{4}.
  • Logo 1-p=\frac{3}{4}.
  • Definimos X\sim\text{Bin}(n=5,p=\tfrac{1}{4}). Queremos
P(X\le 1)=P(X=0)+P(X=1).

Passo 4

Calcular P(X=0) passo a passo.
  • Aplicando a fórmula da binomial para k=0:
P(X=0)=\binom{5}{0}\left(\tfrac{1}{4}\right)^{0}\left(\tfrac{3}{4}\right)^{5}.
  • Como \binom{5}{0}=1 e \left(\tfrac{1}{4}\right)^{0}=1, temos
P(X=0)=\left(\tfrac{3}{4}\right)^{5}.
  • Calculando potências: 3^{5}=243 e 4^{5}=1024, então
P(X=0)=\frac{243}{1024}.

Passo 5

Calcular P(X=1) passo a passo.
  • Para k=1:
P(X=1)=\binom{5}{1}\left(\tfrac{1}{4}\right)^{1}\left(\tfrac{3}{4}\right)^{4}.
  • Sabemos \binom{5}{1}=5. Também \left(\tfrac{3}{4}\right)^{4}=\dfrac{3^{4}}{4^{4}}=\dfrac{81}{256}. Então
P(X=1)=5\cdot \tfrac{1}{4}\cdot \tfrac{81}{256}.
  • Multiplicando: 5\cdot 1\cdot 81 = 405 no numerador e 4\cdot 256=1024 no denominador, logo
P(X=1)=\frac{405}{1024}.

Passo 6

Somar as probabilidades e simplificar.
  • Somando P(X=0)+P(X=1):
P(X\le 1)=\frac{243}{1024}+\frac{405}{1024}=\frac{648}{1024}.
  • Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por 8:
\frac{648}{1024}=\frac{81}{128}.
  • Se quiser o valor decimal, \dfrac{81}{128}=0,6328125. Você pode usar a fração exata \dfrac{81}{128} na prova ou a aproximação decimal.

Resposta

\dfrac{81}{128}

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