Exercício 20: Um lote de componentes eletrônicos contém 20 itens, dos quais 5 são defeituosos.Seleciona-se ao acaso uma amostra de 5 itens. Calcule a probabilidade de que a amostra contenha no máximo um item defeituoso se
a amostragem é feita com reposição.
a amostragem é feita com reposição.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
- Temos um lote com
itens, dos quais são defeituosos. - Seleciona-se ao acaso uma amostra de
itens com reposição. - A pergunta: calcular a probabilidade de que a amostra contenha no máximo um item defeituoso, isto é, de que haja
ou defeituoso entre os itens.
Passo 2
Por que modelar desse jeito? Explicação didática do conceito usado.
- Como a amostragem é feita com reposição, cada retirada não altera a composição do lote. Isso significa que cada item retirado tem a mesma probabilidade de ser defeituoso, e as retiradas são independentes entre si.
- Quando temos um número fixo de ensaios independentes (
retiradas), cada ensaio tem duas categorias (defeituoso = “sucesso”, não defeituoso = “fracasso”) e probabilidade constante de sucesso , a variável que conta o número de sucessos segue a distribuição binomial. - A distribuição binomial é usada exatamente para esses casos. Se
é o número de itens defeituosos em provas independentes com probabilidade de defeito por prova, então a fórmula é:
onde
é o coeficiente binomial que conta de quantas formas podemos escolher quais
ensaios dentre
dão sucesso.
- Aqui:
(tamanho da amostra) e probabilidade de defeito numa retirada. Vamos calcular .
Passo 3
Calcular a probabilidade de defeito em uma única retirada e escrever a variável aleatória.
- A probabilidade de um item ser defeituoso ao retirar um item do lote é
- Logo
. - Definimos
. Queremos
Passo 4
Calcular
passo a passo.
- Aplicando a fórmula da binomial para
:
- Como
e , temos
- Calculando potências:
e , então
Passo 5
Calcular
passo a passo.
- Para
:
- Sabemos
. Também . Então
- Multiplicando:
no numerador e no denominador, logo
Passo 6
Somar as probabilidades e simplificar.
- Somando
:
- Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por
:
- Se quiser o valor decimal,
. Você pode usar a fração exata na prova ou a aproximação decimal.