Exercício 2.18 Em que pontos do plano ( x, y ) as funções seguintes são contínuas?
f(x, y)=\cos (x-y);

Passo 1

O enunciado dá a função f\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} definida por f(x,y)=\cos(x-y) e pede: em que pontos do plano (x,y) essa função é contínua?
Informações relevantes fornecidas:
  • A regra é f(x,y)=\cos(x-y).
  • O domínio implícito é o plano inteiro \mathbb{R}^2 (não há restrição nos x ou y).
    A pergunta a responder é: determinar o conjunto de pontos (x,y) onde f é contínua.

Passo 2

O que significa ser contínua em um ponto? Vou explicar bem devagar e com calma. Seja um ponto qualquer (x_0,y_0)\in\mathbb{R}^2. Dizemos que f é contínua em (x_0,y_0) quando o valor de f em pontos próximos a (x_0,y_0) fica arbitrariamente próximo de f(x_0,y_0). Em linguagem precisa (definição \varepsilon- \delta):
\text{\(f\) é contínua em \((x_0,y_0)\) se, para todo \(\varepsilon>0\), existe \(\delta>0\) tal que, sempre que } \sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}<\delta,éí
\text{temos } |\!f(x,y)-f(x_0,y_0)\!|<\varepsilon.
Aqui \sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2} é a distância euclidiana entre (x,y) e (x_0,y_0). Vou usar essa definição para provar continuidade.

Passo 3

Olhe a estrutura de f: ela é a composição de duas coisas:
  • primeiro, a função linear/afim h\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R} dada por h(x,y)=x-y;
  • depois, a função trigonométrica \cos\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R} aplicada ao resultado, ou seja, f=\cos\circ h.
É mais simples mostrar que h é contínua em qualquer ponto e que \cos é contínua em qualquer ponto de \mathbb{R}; então a composição será contínua em qualquer ponto. Vou mostrar isso explicitamente.

Passo 4

Provar que h(x,y)=x-y é contínua em qualquer (x_0,y_0). Seja (x_0,y_0) fixo. Calcule a diferença entre os valores:
|h(x,y)-h(x_0,y_0)| = |(x-y)-(x_0-y_0)| = |(x-x_0)-(y-y_0)|.
Pela desigualdade triangular vale
|(x-x_0)-(y-y_0)| \le |x-x_0| + |y-y_0|.
Além disso, usando a norma euclidiana \|(x,y)-(x_0,y_0)\| = \sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2} temos as estimativas óbvias |x-x_0| \le \|(x,y)-(x_0,y_0)\| e |y-y_0| \le \|(x,y)-(x_0,y_0)\|. Assim
|h(x,y)-h(x_0,y_0)| \le 2\,\|(x,y)-(x_0,y_0)\|.
Agora, para qualquer \eta>0 se escolhermos \delta=\eta/2 então \|(x,y)-(x_0,y_0)\|<\delta implica |h(x,y)-h(x_0,y_0)|<\eta. Isso mostra que h é contínua em (x_0,y_0). Como (x_0,y_0) foi arbitrário, h é contínua em todo \mathbb{R}^2.

Passo 5

Provar que \cos é contínua em qualquer ponto u_0\in\mathbb{R}. Isto é um fato padrão: a função \cos é contínua em todo \mathbb{R}. Em linguagem \varepsilon- \delta: para qualquer \varepsilon>0 e qualquer u_0, existe \eta>0 tal que, se |u-u_0|<\eta então |\cos u-\cos u_0|<\varepsilon. (Se desejar, pode aceitar esse fato conhecido; provar uniformemente exige trigonometria ou séries, mas é um resultado básico.)

Passo 6

Agora junta tudo: fixe um ponto (x_0,y_0)\in\mathbb{R}^2. Queremos mostrar que f é contínua ali. Dado \varepsilon>0, pela continuidade de \cos em u_0=h(x_0,y_0)=x_0-y_0 existe \eta>0 tal que
\text{se } |u-u_0|<\eta \text{ então } |\cos u - \cos u_0|<\varepsilon.ã
Pela estimativa do passo 4, se escolhermos \delta=\eta/2 então sempre que \|(x,y)-(x_0,y_0)\|<\delta temos
|h(x,y)-h(x_0,y_0)| \le 2\|(x,y)-(x_0,y_0)\| < 2\delta = \eta,
logo |\cos(h(x,y))-\cos(h(x_0,y_0))|<\varepsilon. Em outras palavras, sempre que \sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}<\delta então |f(x,y)-f(x_0,y_0)|<\varepsilon. Isso prova que f é contínua em (x_0,y_0).

Passo 7

Como o ponto (x_0,y_0) foi arbitrário, concluímos que f é contínua em todo ponto do plano \mathbb{R}^2. Relaxa: a função é bonitinha e contínua em todo lugar — não precisa se preocupar com pontos estranhos.

Resposta

\text{A função }f(x,y)=\cos(x-y)\text{ é contínua em todo } \mathbb{R}^2çãéí

Exercícios relacionados