Exercício 2.18 Em que pontos do plano (
) as funções seguintes são contínuas?
;
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e pede: em que pontos do plano
essa função é contínua?
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A regra é
. - O domínio implícito é o plano inteiro
(não há restrição nos ou ).
A pergunta a responder é: determinar o conjunto de pontosonde é contínua.
Passo 2
O que significa ser contínua em um ponto? Vou explicar bem devagar e com calma. Seja um ponto qualquer
. Dizemos que
é contínua em
quando o valor de
em pontos próximos a
fica arbitrariamente próximo de
. Em linguagem precisa (definição
-
):
Aqui
é a distância euclidiana entre
e
. Vou usar essa definição para provar continuidade.
Passo 3
Olhe a estrutura de
: ela é a composição de duas coisas:
- primeiro, a função linear/afim
dada por ; - depois, a função trigonométrica
aplicada ao resultado, ou seja, .
É mais simples mostrar que
é contínua em qualquer ponto e que
é contínua em qualquer ponto de
; então a composição será contínua em qualquer ponto. Vou mostrar isso explicitamente.
Passo 4
Provar que
é contínua em qualquer
. Seja
fixo. Calcule a diferença entre os valores:
Pela desigualdade triangular vale
Além disso, usando a norma euclidiana
temos as estimativas óbvias
e
. Assim
Agora, para qualquer
se escolhermos
então
implica
. Isso mostra que
é contínua em
. Como
foi arbitrário,
é contínua em todo
.
Passo 5
Provar que
é contínua em qualquer ponto
. Isto é um fato padrão: a função
é contínua em todo
. Em linguagem
-
: para qualquer
e qualquer
, existe
tal que, se
então
. (Se desejar, pode aceitar esse fato conhecido; provar uniformemente exige trigonometria ou séries, mas é um resultado básico.)
Passo 6
Agora junta tudo: fixe um ponto
. Queremos mostrar que
é contínua ali. Dado
, pela continuidade de
em
existe
tal que
Pela estimativa do passo 4, se escolhermos
então sempre que
temos
logo
. Em outras palavras, sempre que
então
. Isso prova que
é contínua em
.
Passo 7
Como o ponto
foi arbitrário, concluímos que
é contínua em todo ponto do plano
. Relaxa: a função é bonitinha e contínua em todo lugar — não precisa se preocupar com pontos estranhos.