Exercício 3.38 Se deseja construir uma grande pirâmide cônica de base elíptica de semi eixos a =30 \mathrm{~m} e b=40 \mathrm{~m}, respectivamente e uma altura de h=60 m. Se na construção a altura tivesse um erro de 0.5 m, e os semi-eixos tivessem erros de 0.2 m e -0.1 m , respectivamente, qual seria o erro no volume total da pirâmide? Dica: Utilize o conceito de diferencial exata.

Passo 1

O enunciado pede que se calcule o erro no volume total de uma pirâmide cônica de base elíptica quando ocorrem pequenos erros nas dimensões. Os dados fornecidos são (peguei esses valores do enunciado):
  • semieixo maior: a=30\\ \mathrm{m};
  • semieixo menor: b=40\\ \mathrm{m};
  • altura: h=60\\ \mathrm{m}.
    Os erros nas medidas são:
  • erro em a: \Delta a=0,2\\ \mathrm{m};
  • erro em b: \Delta b=-0,1\\ \mathrm{m} (ou seja, b ficou 0,1 m menor);
  • erro em h: \Delta h=0,5\\ \mathrm{m}.
    O que se pede: estimar o erro no volume total da pirâmide usando o conceito de diferencial exata (ou seja, o diferencial total como aproximação linear do incremento).

Passo 2

Escrevendo a fórmula do volume da pirâmide cônica de base elíptica:
a base é uma elipse de área A=\pi a b. O volume de uma pirâmide (ou cone) é
V=\tfrac{1}{3}A h=\tfrac{1}{3}\pi a b h.
Aqui:
  • V é o volume em \mathrm{m}^3;
  • a e b são os semieixos da elipse em \mathrm{m};
  • h é a altura em \mathrm{m}.

Passo 3

Conceito que vamos usar (pequena aula): para uma função de várias variáveis V(a,b,h), o incremento pequeno \Delta V causado por pequenas variações \Delta a,\Delta b,\Delta h pode ser aproximado pelo diferencial total dV, dado por
dV=\frac{\partial V}{\partial a}\,da+\frac{\partial V}{\partial b}\,db+\frac{\partial V}{\partial h}\,dh.
Interpretação simples: cada termo diz quanto o volume muda quando uma variável muda um pouco, mantendo as outras fixas; depois somamos as contribuições. Essa é a aproximação linear (primeira ordem) — chamada de diferencial exata/total aqui — válida quando os erros são pequenos, como no enunciado.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais de V(a,b,h)=\tfrac{1}{3}\pi a b h. Derivando em relação a cada variável (mantendo as outras fixas):
\frac{\partial V}{\partial a}=\tfrac{1}{3}\pi b h, \qquad \frac{\partial V}{\partial b}=\tfrac{1}{3}\pi a h, \qquad \frac{\partial V}{\partial h}=\tfrac{1}{3}\pi a b.
Explanação curta: por exemplo, ao derivar em relação a a tratamos b e h como constantes, então fica \tfrac{1}{3}\pi b h, porque a derivada de a é 1.

Passo 5

Agora avaliamos essas derivadas no ponto (a,b,h)=(30,40,60)\\ \mathrm{m} (peguei esses valores do enunciado) para obter os coeficientes numéricos do diferencial:
\frac{\partial V}{\partial a}\Big|_{(30,40,60)}=\tfrac{1}{3}\pi\cdot 40\cdot 60=\tfrac{1}{3}\pi\cdot 2400=800\pi,
\frac{\partial V}{\partial b}\Big|_{(30,40,60)}=\tfrac{1}{3}\pi\cdot 30\cdot 60=\tfrac{1}{3}\pi\cdot 1800=600\pi,
\frac{\partial V}{\partial h}\Big|_{(30,40,60)}=\tfrac{1}{3}\pi\cdot 30\cdot 40=\tfrac{1}{3}\pi\cdot 1200=400\pi.
Unidades: cada derivada tem unidade \mathrm{m}^2 multiplicada por \mathrm{m} apropriado, de modo que dV fica em \mathrm{m}^3.

Passo 6

Escrevendo o diferencial total e substituindo da=\Delta a=0,2\\ \mathrm{m}, db=\Delta b=-0,1\\ \mathrm{m} e dh=\Delta h=0,5\\ \mathrm{m} (peguei esses incrementos do enunciado):
dV=800\pi\cdot da + 600\pi\cdot db + 400\pi\cdot dh.
Substituindo os valores numéricos:
dV=800\pi\cdot 0,2 + 600\pi\cdot(-0,1) + 400\pi\cdot 0,5.
Calcule passo a passo:
800\cdot 0,2 = 160,\qquad 600\cdot(-0,1)=-60,\qquad 400\cdot 0,5=200.
Somando:
160-60+200=300.
Portanto
dV=300\pi.

Passo 7

Interpretando o resultado: o diferencial total aproxima o erro no volume causado pelos pequenos erros nas medidas. Assim o erro estimado no volume é
dV=300\pi\\ \mathrm{m}^3\approx 942{,}48\\ \mathrm{m}^3.
O sinal positivo indica que, no conjunto dos erros dados ( \Delta a=0,2, \Delta b=-0,1, \Delta h=0,5), o volume aumenta aproximadamente 300\pi\\ \mathrm{m}^3. Força aí — esse é o resultado que você pode usar na prova com a justificativa pela diferencial total.

Resposta

\Delta V \approx 300\pi\\ \mathrm{m}^3 = 942{,}48\\ \mathrm{m}^3

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