Exercício 2.8 Construir as superfícies de nível das seguintes funções:
f(x, y, z)=x^{2}+z^{2}-y^{2};

Passo 1

O que o enunciado pede: construir as superfícies de nível da função \,f(x,y,z)=x^{2}+z^{2}-y^{2}.
Informações fornecidas:
  • A função é \,f(x,y,z)=x^{2}+z^{2}-y^{2}.
  • Uma superfície de nível associada a um valor real \,c é o conjunto \,S_{c}=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid f(x,y,z)=c\}.
  • O enunciado não dá outros dados (logo devemos descrever a família \,S_{c} para \,c\in\mathbb{R}).

Passo 2

Primeira ideia (definição e método): para construir as superfícies de nível tomamos a equação
x^{2}+z^{2}-y^{2}=c.
Essa é a equação implícita da superfície S_{c}. A estratégia é estudar os diferentes valores de \,c (sinal de \,c) porque o tipo geométrico muda conforme \,c>0, \,c=0 ou \,c<0. Vou analisar cada caso e também explicar como entender a forma geométrica olhando para seções transversais.

Passo 3

Reescrever a equação de modo útil: coloquei os termos positivos juntos
x^{2}+z^{2}=y^{2}+c.
Interpretação por seções horizontais (fixando \,y): para um valor fixo \,y=y_{0} a interseção com o plano \,y=y_{0} é
x^{2}+z^{2}=y_{0}^{2}+c,
ou seja, um círculo centrado na origem do plano (x,z) com raio
R(y_{0})=\sqrt{\,y_{0}^{2}+c\,},
desde que o radicando seja não negativo. Essa visão é útil: a forma 3D é obtida “empilhando” círculos de raio R(y) ao longo do eixo y.

Passo 4

Caso \,c=0: substituindo na equação obtemos
x^{2}+z^{2}-y^{2}=0 \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}+z^{2}=y^{2}.
Desenvolvimento e interpretação:
  • Podemos escrever y=\pm\sqrt{x^{2}+z^{2}}. Para cada direção no plano x\!z (ângulo \theta) a relação entre y e a distância radial r=\sqrt{x^{2}+z^{2}} é y=\pm r.
  • Isso é exatamente um cone duplo (duas nappes): um ramo com y=+r subindo e outro com y=-r descendo, ambos com vértice em (0,0,0). Em coordenadas cilíndricas (r,\theta,y) a equação fica r^{2}=y^{2}, ou seja r=|y|.
  • Parametrização simples (útil na prova): tomar r\ge 0, \theta\in[0,2\pi) e escrever
x=r\cos\theta,\qquad z=r\sin\theta,\qquad y=\pm r.
  • Conclusão: para \,c=0 a superfície de nível é um cone circular com vértice na origem.

Passo 5

Caso \,c>0: escreva \,c=\alpha com \alpha>0. A equação é
x^{2}+z^{2}=y^{2}+\alpha.
Observações e interpretação:
  • Para todo y\in\mathbb{R} o raio R(y)=\sqrt{y^{2}+\alpha} é bem definido e nunca é zero (pois y^{2}+\alpha\ge\alpha>0). Logo cada seção \,y=y_{0} é um círculo de raio \sqrt{y_{0}^{2}+\alpha}.
  • A superfície é conectada e “afinada” no meio; é um hiperbóide de uma folha (one-sheet hyperboloid) com eixo no sentido do eixo y. Uma maneira de ver a forma padrão: dividir por \alpha obtém
\frac{x^{2}}{\alpha}+\frac{z^{2}}{\alpha}-\frac{y^{2}}{\alpha}=1,
forma típica de um hiperbóide de uma folha (um único componente).
  • Parametrização prática para provas: escolher parâmetros y=u\in\mathbb{R} e \theta\in[0,2\pi):
x=\sqrt{u^{2}+\alpha}\,\cos\theta,\qquad z=\sqrt{u^{2}+\alpha}\,\sin\theta,\qquad y=u.
  • Exemplo concreto: para \,c=1 a equação \,x^{2}+z^{2}-y^{2}=1 é o hiperbóide de uma folha com “furo” no centro inexistente (a seção em y=0 é um círculo de raio 1).

Passo 6

Caso \,c<0: escreva \,c=-\beta com \beta>0. A equação fica
x^{2}+z^{2}=y^{2}-\beta.
Desenvolvimento e interpretação:
  • Para uma dada seção y=y_{0} o radicando é y_{0}^{2}-\beta. Isso é não negativo apenas quando |y_{0}|\ge\sqrt{\beta}. Portanto as seções não existem próximas de y=0; existem círculos apenas para |y| suficientemente grandes.
  • Consequência geométrica: a superfície tem duas componentes desconexas (duas “folhas”), uma com y\ge\sqrt{\beta} e outra com y\le -\sqrt{\beta}. Cada componente é um hiperbóide de duas folhas (two-sheet hyperboloid) aberto ao longo do eixo y.
  • Parametrização útil (para a folha superior, a inferior é análoga com sinal trocado): para u\ge\sqrt{\beta} e \theta\in[0,2\pi),
x=\sqrt{u^{2}-\beta}\,\cos\theta,\qquad z=\sqrt{u^{2}-\beta}\,\sin\theta,\qquad y=u.
  • Exemplo: para \,c=-1 obtemos x^{2}+z^{2}-y^{2}=-1, ou y^{2}-x^{2}-z^{2}=1, clássica forma de hiperbóide de duas folhas com “gap” central |y|<1 onde não há pontos da superfície.

Passo 7

Observações adicionais (seções verticais e verificação rápida):
  • Se intersectar com o plano x=0 obtemos z^{2}-y^{2}=c, que é uma hipérbole no plano x=0. Isso confirma a natureza hiperbólica das superfícies para c\neq 0.
  • Resumo prático que vale decorar para prova: a família x^{2}+z^{2}-y^{2}=c gera cone para c=0, hiperbóide de uma folha para c>0, e hiperbóide de duas folhas para c<0. As parametrizações dadas permitem esboçar ou calcular pontos facilmente.

Resposta

\,c>0: hiperbóide de uma folha dado por \,x^{2}+z^{2}-y^{2}=c.
\,c=0: cone duplo (cone circular) dado por \,x^{2}+z^{2}-y^{2}=0.
\,c<0: hiperbóide de duas folhas dado por \,x^{2}+z^{2}-y^{2}=c.

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