Exercício 2.8 Construir as superfícies de nível das seguintes funções:
;
Passo 1
O que o enunciado pede: construir as superfícies de nível da função
.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- A função é
. - Uma superfície de nível associada a um valor real
é o conjunto . - O enunciado não dá outros dados (logo devemos descrever a família
para ).
Passo 2
Primeira ideia (definição e método): para construir as superfícies de nível tomamos a equação
Essa é a equação implícita da superfície
. A estratégia é estudar os diferentes valores de
(sinal de
) porque o tipo geométrico muda conforme
,
ou
. Vou analisar cada caso e também explicar como entender a forma geométrica olhando para seções transversais.
Passo 3
Reescrever a equação de modo útil: coloquei os termos positivos juntos
Interpretação por seções horizontais (fixando
): para um valor fixo
a interseção com o plano
é
ou seja, um círculo centrado na origem do plano
com raio
desde que o radicando seja não negativo. Essa visão é útil: a forma 3D é obtida “empilhando” círculos de raio
ao longo do eixo
.
Passo 4
Caso
: substituindo na equação obtemos
Desenvolvimento e interpretação:
- Podemos escrever
. Para cada direção no plano (ângulo ) a relação entre e a distância radial é . - Isso é exatamente um cone duplo (duas nappes): um ramo com
subindo e outro com descendo, ambos com vértice em . Em coordenadas cilíndricas a equação fica , ou seja . - Parametrização simples (útil na prova): tomar
, e escrever
- Conclusão: para
a superfície de nível é um cone circular com vértice na origem.
Passo 5
Caso
: escreva
com
. A equação é
Observações e interpretação:
- Para todo
o raio é bem definido e nunca é zero (pois ). Logo cada seção é um círculo de raio . - A superfície é conectada e “afinada” no meio; é um hiperbóide de uma folha (one-sheet hyperboloid) com eixo no sentido do eixo
. Uma maneira de ver a forma padrão: dividir por obtém
forma típica de um hiperbóide de uma folha (um único componente).
- Parametrização prática para provas: escolher parâmetros
e :
- Exemplo concreto: para
a equação é o hiperbóide de uma folha com “furo” no centro inexistente (a seção em é um círculo de raio ).
Passo 6
Caso
: escreva
com
. A equação fica
Desenvolvimento e interpretação:
- Para uma dada seção
o radicando é . Isso é não negativo apenas quando . Portanto as seções não existem próximas de ; existem círculos apenas para suficientemente grandes. - Consequência geométrica: a superfície tem duas componentes desconexas (duas “folhas”), uma com
e outra com . Cada componente é um hiperbóide de duas folhas (two-sheet hyperboloid) aberto ao longo do eixo . - Parametrização útil (para a folha superior, a inferior é análoga com sinal trocado): para
e ,
- Exemplo: para
obtemos , ou , clássica forma de hiperbóide de duas folhas com “gap” central onde não há pontos da superfície.
Passo 7
Observações adicionais (seções verticais e verificação rápida):
- Se intersectar com o plano
obtemos , que é uma hipérbole no plano . Isso confirma a natureza hiperbólica das superfícies para . - Resumo prático que vale decorar para prova: a família
gera cone para , hiperbóide de uma folha para , e hiperbóide de duas folhas para . As parametrizações dadas permitem esboçar ou calcular pontos facilmente.