Exercício 2.8 Construir as superfícies de nível das seguintes funções:
;
Passo 1
O enunciado pede para construir as superfícies de nível da função
O que se deve fazer: para cada valor real
considerar a equação de nível
ou seja
e descrever geometricamente o conjunto de pontos
que satisfazem essa equação. Informação dada e relevante que pegamos do enunciado: a função é um polinômio quadrático em
com coeficientes positivos
.
Passo 2
Definição e primeiro passo prático: para um número real
fixo, a superfície de nível é o conjunto
Vamos analisar casos diferentes de
(positivo, zero e negativo), pois a forma da solução depende do sinal de
.
Passo 3
Caso
. Cada termo
é maior ou igual a zero para quaisquer
. A soma de termos não-negativos não pode ser negativa. Logo, se
não existem pontos que satisfaçam a equação. Conclusão:
Passo 4
Caso
. A equação fica
Como cada termo é
, a soma só é zero quando todos os termos são zero simultaneamente, isto é,
,
e
. Conclusão:
um único ponto (o centro).
Passo 5
Caso
. Dividindo a equação por
obtemos a forma padrão de uma superfície quadrática:
Reescrevendo cada termo como um quadrado dividido por um quadrado de semi-eixo, temos
Esta é a equação de uma elipsoide centrada na origem, com semi-eixos ao longo dos eixos coordenados.
Passo 6
Calcular explicitamente os comprimentos dos semi-eixos. Para a forma
os semi-eixos valem
. Comparando com a equação do Passo 5 identificamos
Portanto os semi-eixos são
Observação prática e intuitiva: os coeficientes maiores na forma quadrática correspondem a eixos menores (por exemplo, o coeficiente
em
dá um eixo
menor em comparação aos outros, para o mesmo
).
Passo 7
Interceptos com os eixos (maneira rápida de visualizar a elipsoide): para
,
- intercepto em
(quando ): , - intercepto em
(quando ): , - intercepto em
(quando ): .
Esses valores dão a “extensão” da elipsoide ao longo de cada eixo coordenado.
Passo 8
Exemplos numéricos para fixar a intuição (pegando
e
como exemplos simples):
- Para
os semi-eixos são Então é uma elipsoide bem esticada na direção e achatada na direção . - Para
(só para ver escala) os semi-eixos são Veja que aumentar apenas escala todos os semi-eixos pela mesma fator .
Passo 9
Resumo geométricos e observações finais que ajudam na prova:
- Para
: é uma elipsoide centrada na origem, com eixos alinhados aos eixos coordenados e semi-eixos dados por - Para
: é o ponto . - Para
: é o conjunto vazio.
Essas são as superfícies de nível pedidas; para desenhar, use os interceptos do Passo 7 e lembre que todas as elipsoides são obtidas escalando a elipsoide para
pelo fator
.
Resposta
Para
:
.
Para
:
.
Para
:
é a elipsoide centrada na origem dada por
com semi-eixos