Exercício 2.8 Construir as superfícies de nível das seguintes funções:
f(x, y, z)=4 x^{2}+\frac{2}{9} y^{2}+6 z^{2};

Passo 1

O enunciado pede para construir as superfícies de nível da função
f(x,y,z)=4x^{2}+\frac{2}{9}y^{2}+6z^{2}.
O que se deve fazer: para cada valor real k considerar a equação de nível
f(x,y,z)=k,
ou seja
4x^{2}+\frac{2}{9}y^{2}+6z^{2}=k,
e descrever geometricamente o conjunto de pontos (x,y,z) que satisfazem essa equação. Informação dada e relevante que pegamos do enunciado: a função é um polinômio quadrático em x,y,z com coeficientes positivos 4,\tfrac{2}{9},6.

Passo 2

Definição e primeiro passo prático: para um número real k fixo, a superfície de nível é o conjunto
S_k=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid 4x^{2}+\tfrac{2}{9}y^{2}+6z^{2}=k\}.
Vamos analisar casos diferentes de k (positivo, zero e negativo), pois a forma da solução depende do sinal de k.

Passo 3

Caso k<0. Cada termo 4x^{2},\tfrac{2}{9}y^{2},6z^{2} é maior ou igual a zero para quaisquer x,y,z. A soma de termos não-negativos não pode ser negativa. Logo, se k<0 não existem pontos que satisfaçam a equação. Conclusão:
\text{para }k<0\quad S_k=\varnothing.

Passo 4

Caso k=0. A equação fica
4x^{2}+\tfrac{2}{9}y^{2}+6z^{2}=0.
Como cada termo é \ge 0, a soma só é zero quando todos os termos são zero simultaneamente, isto é, x=0, y=0 e z=0. Conclusão:
\text{para }k=0\quad S_0=\{(0,0,0)\},
um único ponto (o centro).

Passo 5

Caso k>0. Dividindo a equação por k obtemos a forma padrão de uma superfície quadrática:
\frac{4x^{2}}{k}+\frac{\tfrac{2}{9}y^{2}}{k}+\frac{6z^{2}}{k}=1.
Reescrevendo cada termo como um quadrado dividido por um quadrado de semi-eixo, temos
\frac{x^{2}}{k/4}+\frac{y^{2}}{9k/2}+\frac{z^{2}}{k/6}=1.
Esta é a equação de uma elipsoide centrada na origem, com semi-eixos ao longo dos eixos coordenados.

Passo 6

Calcular explicitamente os comprimentos dos semi-eixos. Para a forma
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1
os semi-eixos valem a,b,c. Comparando com a equação do Passo 5 identificamos
a^{2}=\frac{k}{4},\qquad b^{2}=\frac{9k}{2},\qquad c^{2}=\frac{k}{6}.
Portanto os semi-eixos são
a=\sqrt{\frac{k}{4}}=\frac{\sqrt{k}}{2},\qquad b=\sqrt{\frac{9k}{2}}=3\sqrt{\frac{k}{2}},\qquad c=\sqrt{\frac{k}{6}}=\frac{\sqrt{k}}{\sqrt{6}}.
Observação prática e intuitiva: os coeficientes maiores na forma quadrática correspondem a eixos menores (por exemplo, o coeficiente 6 em 6z^{2} dá um eixo c menor em comparação aos outros, para o mesmo k).

Passo 7

Interceptos com os eixos (maneira rápida de visualizar a elipsoide): para k>0,
  • intercepto em x (quando y=z=0): x=\pm\sqrt{k/4}=\pm\tfrac{\sqrt{k}}{2},
  • intercepto em y (quando x=z=0): y=\pm\sqrt{9k/2}=\pm 3\sqrt{k/2},
  • intercepto em z (quando x=y=0): z=\pm\sqrt{k/6}=\pm\sqrt{k/6}.
Esses valores dão a “extensão” da elipsoide ao longo de cada eixo coordenado.

Passo 8

Exemplos numéricos para fixar a intuição (pegando k=1 e k=36 como exemplos simples):
  • Para k=1 os semi-eixos são a=\tfrac{1}{2},\qquad b=3\sqrt{\tfrac{1}{2}}=\tfrac{3}{\sqrt{2}}\approx2{,}121,\qquad c=\tfrac{1}{\sqrt{6}}\approx0{,}408.Então S_{1} é uma elipsoide bem esticada na direção y e achatada na direção z.
  • Para k=36 (só para ver escala) os semi-eixos são a=\tfrac{\sqrt{36}}{2}=3,\qquad b=3\sqrt{\tfrac{36}{2}}=9\sqrt{2}\approx12{,}727,\qquad c=\sqrt{\tfrac{36}{6}}=\sqrt{6}\approx2{,}449.Veja que aumentar k apenas escala todos os semi-eixos pela mesma fator \sqrt{k}.

Passo 9

Resumo geométricos e observações finais que ajudam na prova:
  • Para k>0: S_k é uma elipsoide centrada na origem, com eixos alinhados aos eixos coordenados e semi-eixos dados por a=\frac{\sqrt{k}}{2},\quad b=3\sqrt{\frac{k}{2}},\quad c=\sqrt{\frac{k}{6}}.
  • Para k=0: S_0 é o ponto (0,0,0).
  • Para k<0: S_k é o conjunto vazio.
Essas são as superfícies de nível pedidas; para desenhar, use os interceptos do Passo 7 e lembre que todas as elipsoides são obtidas escalando a elipsoide para k=1 pelo fator \sqrt{k}.

Resposta

Para k<0: S_k=\varnothing.
Para k=0: S_0=\{(0,0,0)\}.
Para k>0: S_k é a elipsoide centrada na origem dada por
4x^{2}+\tfrac{2}{9}y^{2}+6z^{2}=k,
com semi-eixos
a=\frac{\sqrt{k}}{2},\qquad b=3\sqrt{\frac{k}{2}},\qquad c=\sqrt{\frac{k}{6}}.

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