Exercício 18. Provar que
.
Passo 1
O enunciado pede para provar a fórmula de expansão da norma ao quadrado de uma diferença de vetores. O conteúdo aqui é produto interno e norma em espaços euclidianos. Vamos usar que, para qualquer vetor
, vale
, e que o produto interno é bilinear e simétrico.
Passo 2
Pela definição de norma, temos
Passo 3
Agora aplicamos a bilinearidade do produto interno, distribuindo a soma:
Passo 4
Como o produto interno é simétrico,
. Logo os termos mistos somam
, e restam apenas os quadrados das normas:
Resposta
Foi demonstrado que