Exercício 18. Provar que |u-v|^2=|u|^2-2 u cdot v+|v|^2.

Passo 1

O enunciado pede para provar a fórmula de expansão da norma ao quadrado de uma diferença de vetores. O conteúdo aqui é produto interno e norma em espaços euclidianos. Vamos usar que, para qualquer vetor vec w, vale |vec w|^2 = vec wcdotvec w, e que o produto interno é bilinear e simétrico.

Passo 2

Pela definição de norma, temos
|vec u - vec v|^2 = (vec u - vec v)cdot(vec u - vec v)

Passo 3

Agora aplicamos a bilinearidade do produto interno, distribuindo a soma:
(vec u - vec v)cdot(vec u - vec v) = vec ucdotvec u ;-;vec vcdotvec u;-;vec ucdotvec v;+;vec vcdotvec v

Passo 4

Como o produto interno é simétrico, vec vcdotvec u = vec ucdotvec v. Logo os termos mistos somam -2,vec ucdotvec v, e restam apenas os quadrados das normas:
|vec u - vec v|^2 = vec ucdotvec u ;-;2,vec ucdotvec v;+;vec vcdotvec v = |vec u|^2 - 2,vec ucdotvec v + |vec v|^2

Resposta

Foi demonstrado que
|vec u - vec v|^2 = |vec u|^2 - 2,vec ucdotvec v + |vec v|^2

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