Exercício 19. Provar que (u+v) cdot(u-v)=|u|^2-|v|^2.

Passo 1

O enunciado pede para provar que
(u+v)cdot(u-v) = |u|^2 - |v|^2,
onde usamos o produto escalar e a definição de norma |w|^2 = wcdotw.

Passo 2

Usamos a bilinearidade do produto escalar, ou seja,
(a+b)cdotc = acdotc + bcdotc
e
ccdot(a+b) = ccdota + ccdotb
Aplicando isso em (u+v)cdot(u-v) obtemos
(u+v)cdot(u-v) = ucdot(u-v) ;+; vcdot(u-v)

Passo 3

Agora expandimos cada termo usando bilinearidade de novo:
ucdot(u-v) = ucdotu ;-; ucdotv,
vcdot(u-v) = vcdotu ;-; vcdotv

Passo 4

Somando os dois resultados e usando a simetria do produto escalar ucdotv = vcdotu, temos
ucdotu - ucdotv + vcdotu - vcdotv = ucdotu - vcdotv

Passo 5

Pela definição de norma ao quadrado, |u|^2 = ucdotu e |v|^2 = vcdotv. Assim concluímos
(u+v)cdot(u-v) = |u|^2 ;-; |v|^2

Resposta

A igualdade (u+v)cdot(u-v)=|u|^2-|v|^2 está provada.

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