Exercício 20 Resolva a equação diferencial dada em série de potências de
(em torno de
). Escreva uma fórmula fechada para o termo geral de cada série que compõe a solução. Dê um intervalo onde a solução é válida.
, Equação de Airy.
Passo 1
O enunciado pede que eu resolva, por série de potências em torno de
, a equação diferencial
(Equação de Airy). Preciso:
- Encontrar a solução geral em forma de séries de potências centradas em
. - Escrever uma fórmula fechada para o termo geral de cada série que compõe a solução (ou seja, dar uma expressão do tipo
para os coeficientes). - Indicar um intervalo (ou raio) onde essa solução é válida.
Informações relevantes dadas:
- Equação linear de segunda ordem com coeficientes polinomiais (portanto analíticos em todo
). - O centro da expansão é
. - Não foram dadas condições iniciais; consequentemente teremos duas constantes livres (duas séries independentes).
Passo 2
Vou assumir uma solução em série de potências centrada em
:
onde os
são constantes a determinar. Calculo as derivadas:
Substituo na equação
:
O segundo somatório pode ser reescrito como
Agora igualo coeficientes de
para todo
.
Passo 3
Igualando coeficientes de
obtemos:
- Para
:
- Para
:
ou seja a recorrência
Observe que essa recorrência conecta coeficientes cuja diferença de índice é
(pois
se relaciona com
). Assim os coeficientes se organizam em três classes de congruência modulo
: índices
; índices
; e índices
. Como
, toda a classe
será nula (porque a recorrência propaga zeros nessa classe). Então só restam duas séries independentes, determinadas por
e por
livres.
Para ver o padrão, calculo os primeiros termos:
- Tomando
livre e : etc. - Tomando
livre e : etc.
Passo 4
Agora escrevo uma fórmula fechada para a classe dos índices múltiplos de
. Para
,
com a convenção
(assim
aparece para
). Posso simplificar essa produto usando identidades com a função Gamma ou o símbolo de Pochhammer
(o que é prático para escrever uma forma fechada):
Lembro que
(Pochhammer, fatoração ascendente) é
Usando essa identidade e a fatoração apropriada do produto em progressão aritmética, obtenho
Portanto
Verificação rápida: para
isso dá
, que confere com o cálculo direto.
Passo 5
Faço a mesma coisa para a classe
. Para
,
com
. Usando a expressão por Gamma / Pochhammer:
Assim obtemos a forma fechada
Verificação para
dá
(ok) e para
dá
(confere).
Passo 6
A classe
é nula porque
e a recorrência propaga isso: para todo
,
Passo 7
Agora escrevo explicitamente as duas séries independentes (escolhendo as bases
com
e
com
). Usando as fórmulas obtidas para os coeficientes:
- Solução com
:
- Solução com
:
A solução geral é uma combinação linear:
onde
e
.
Interpretação do intervalo de validade: como os coeficientes na EDO são polinomiais (analíticos para todo
), o teorema das séries de potências para EDOs garante que as séries obtidas têm raio de convergência infinito. Em termos práticos, as séries definem funções inteiras, isto é, convergem para todo
(e na verdade para todo
).
Resposta
As duas séries têm raio de convergência infinito, portanto a solução é válida para todo
(e para todo
).