Exercício 20 Resolva a equação diferencial dada em série de potências de x (em torno de x_{0}=0 ). Escreva uma fórmula fechada para o termo geral de cada série que compõe a solução. Dê um intervalo onde a solução é válida.
y^{\prime \prime}-x y=0, Equação de Airy.

Passo 1

O enunciado pede que eu resolva, por série de potências em torno de x_{0}=0, a equação diferencial
y'' - x\,y = 0,
(Equação de Airy). Preciso:
  • Encontrar a solução geral em forma de séries de potências centradas em 0.
  • Escrever uma fórmula fechada para o termo geral de cada série que compõe a solução (ou seja, dar uma expressão do tipo a_{n}=\dots para os coeficientes).
  • Indicar um intervalo (ou raio) onde essa solução é válida.
Informações relevantes dadas:
  • Equação linear de segunda ordem com coeficientes polinomiais (portanto analíticos em todo \mathbb{R}).
  • O centro da expansão é x_{0}=0.
  • Não foram dadas condições iniciais; consequentemente teremos duas constantes livres (duas séries independentes).

Passo 2

Vou assumir uma solução em série de potências centrada em 0:
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n},
onde os a_{n} são constantes a determinar. Calculo as derivadas:
y'(x)=\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)a_{n+1} x^{n}, \qquad y''(x)=\sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1)a_{n+2} x^{n}.
Substituo na equação y''-x y=0:
\sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1)a_{n+2} x^{n} - x\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}=0.
O segundo somatório pode ser reescrito como
x\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n+1}=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n-1} x^{n}.
Agora igualo coeficientes de x^{n} para todo n\ge 0.

Passo 3

Igualando coeficientes de x^{n} obtemos:
  • Para n=0:
(2)(1)a_{2}=0 \quad\Rightarrow\quad a_{2}=0.
  • Para n\ge 1:
(n+2)(n+1)a_{n+2}-a_{n-1}=0,
ou seja a recorrência
a_{n+2}=\frac{a_{n-1}}{(n+2)(n+1)},\qquad n\ge 1.
Observe que essa recorrência conecta coeficientes cuja diferença de índice é 3 (pois n+2 se relaciona com n-1). Assim os coeficientes se organizam em três classes de congruência modulo 3: índices 0,3,6,\dots; índices 1,4,7,\dots; e índices 2,5,8,\dots. Como a_{2}=0, toda a classe 2,5,8,\dots será nula (porque a recorrência propaga zeros nessa classe). Então só restam duas séries independentes, determinadas por a_{0} e por a_{1} livres.
Para ver o padrão, calculo os primeiros termos:
  • Tomando a_{0} livre e a_{1}=0: a_{3}=\dfrac{a_{0}}{3\cdot 2},\; a_{6}=\dfrac{a_{3}}{6\cdot 5}=\dfrac{a_{0}}{6\cdot 5\cdot 3\cdot 2}, etc.
  • Tomando a_{1} livre e a_{0}=0: a_{4}=\dfrac{a_{1}}{4\cdot 3},\; a_{7}=\dfrac{a_{4}}{7\cdot 6}=\dfrac{a_{1}}{7\cdot 6\cdot 4\cdot 3}, etc.

Passo 4

Agora escrevo uma fórmula fechada para a classe dos índices múltiplos de 3. Para m\ge 0,
a_{3m}=\frac{a_{0}}{\prod_{j=1}^{m} (3j(3j-1))},
com a convenção \prod_{j=1}^{0}(\cdot)=1 (assim a_{0} aparece para m=0). Posso simplificar essa produto usando identidades com a função Gamma ou o símbolo de Pochhammer (\alpha)_m (o que é prático para escrever uma forma fechada):
Lembro que (\alpha)_m (Pochhammer, fatoração ascendente) é
(\alpha)_m=\alpha(\alpha+1)\cdots(\alpha+m-1)=\frac{\Gamma(\alpha+m)}{\Gamma(\alpha)}.
Usando essa identidade e a fatoração apropriada do produto em progressão aritmética, obtenho
\prod_{j=1}^{m} (3j(3j-1)) = 3^{2m} m!\,\frac{\Gamma\!\big(m+\tfrac{2}{3}\big)}{\Gamma\!\big(\tfrac{2}{3}\big)}.
Portanto
a_{3m}=a_{0}\,\frac{\Gamma\!\big(\tfrac{2}{3}\big)}{3^{2m} m!\,\Gamma\!\big(m+\tfrac{2}{3}\big)} = \frac{a_{0}}{3^{2m} m!\,(\tfrac{2}{3})_{m}}.
Verificação rápida: para m=1 isso dá a_{3}=\dfrac{a_{0}}{3^{2}\cdot 1!\cdot(\tfrac{2}{3})_{1}}=\dfrac{a_{0}}{9\cdot \tfrac{2}{3}}=\dfrac{a_{0}}{6}, que confere com o cálculo direto.

Passo 5

Faço a mesma coisa para a classe 3m+1. Para m\ge 0,
a_{3m+1}=\frac{a_{1}}{\prod_{j=1}^{m} ((3j+1)(3j))},
com \prod_{j=1}^{0}=1. Usando a expressão por Gamma / Pochhammer:
\prod_{j=1}^{m} ((3j+1)(3j)) = 3^{2m} m!\,\frac{\Gamma\!\big(m+\tfrac{4}{3}\big)}{\Gamma\!\big(\tfrac{4}{3}\big)}.
Assim obtemos a forma fechada
a_{3m+1}=a_{1}\,\frac{\Gamma\!\big(\tfrac{4}{3}\big)}{3^{2m} m!\,\Gamma\!\big(m+\tfrac{4}{3}\big)} = \frac{a_{1}}{3^{2m} m!\,(\tfrac{4}{3})_{m}}.
Verificação para m=0 a_{1} (ok) e para m=1 a_{4}=\dfrac{a_{1}}{4\cdot 3} (confere).

Passo 6

A classe 3m+2 é nula porque a_{2}=0 e a recorrência propaga isso: para todo m\ge 0,
a_{3m+2}=0.

Passo 7

Agora escrevo explicitamente as duas séries independentes (escolhendo as bases y_{1} com y_{1}(0)=1,y'_{1}(0)=0 e y_{2} com y_{2}(0)=0,y'_{2}(0)=1). Usando as fórmulas obtidas para os coeficientes:
  • Solução com a_{0}=1,\\ a_{1}=0:
y_{1}(x)=\sum_{m=0}^{\infty} a_{3m} x^{3m} =\sum_{m=0}^{\infty} \frac{x^{3m}}{3^{2m} m!\,(\tfrac{2}{3})_{m}}.
  • Solução com a_{0}=0,\\ a_{1}=1:
y_{2}(x)=\sum_{m=0}^{\infty} a_{3m+1} x^{3m+1} =\sum_{m=0}^{\infty} \frac{x^{3m+1}}{3^{2m} m!\,(\tfrac{4}{3})_{m}}.
A solução geral é uma combinação linear:
y(x)=C_{1}y_{1}(x)+C_{2}y_{2}(x),
onde C_{1}=a_{0} e C_{2}=a_{1}.
Interpretação do intervalo de validade: como os coeficientes na EDO são polinomiais (analíticos para todo x\in\mathbb{R}), o teorema das séries de potências para EDOs garante que as séries obtidas têm raio de convergência infinito. Em termos práticos, as séries definem funções inteiras, isto é, convergem para todo x\in\mathbb{R} (e na verdade para todo x\in\mathbb{C}).

Resposta

y(x)=C_{1}\displaystyle\sum_{m=0}^{\infty}\frac{x^{3m}}{3^{2m} m!\,(\tfrac{2}{3})_{m}}+C_{2}\displaystyle\sum_{m=0}^{\infty}\frac{x^{3m+1}}{3^{2m} m!\,(\tfrac{4}{3})_{m}}.
As duas séries têm raio de convergência infinito, portanto a solução é válida para todo x\in\mathbb{R} (e para todo x\in\mathbb{C}).

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