Exercício 18. Seja
de classe
tal que
é uma isometria, para todo
, isto é:
Mostre que
é uma isometria:
Conclua que
onde
e
é uma transformação linear ortogonal.
Passo 1
O enunciado dá uma função de classe
,
tal que para todo
vale
ou seja, cada diferencial
é uma isometria linear. Precisamos mostrar que
preserva distâncias:
e então concluir que
é da forma
com
ortogonal e
. Usaremos a representação de
por integral da derivada no segmento e depois a propriedade de preservar pontos médios para deduzir que
é afim.
Passo 2
Seja
e defina
. Como
é
, pelo Teorema Fundamental do Cálculo em várias variáveis temos
Passo 3
Para brevê-lo, note que
Usando linearidade do produto interno e o fato de
ser isometria, temos
logo
Tomando raiz quadrada segue
isto é,
é uma isometria global.
Passo 4
Como
preserva distâncias, ele manda o ponto médio de
no ponto equidistante de
e
. Mas esse ponto equidistante é unicamente
. Logo
Passo 5
Uma função contínua que preserva pontos médios é afim. Em particular, definindo
e
a condição de ponto médio implica
e por continuidade estende-se para a equação de Cauchy afim, dando
para todo
. Assim
é transformação linear e
Passo 6
Finalmente, como
, sua derivada em qualquer ponto coincide com
. Mas já sabemos que
é ortogonal para todo
. Portanto a matriz de
é ortogonal, isto é,
Resposta
onde
e
é a transformação linear ortogonal dada por
.