Exercício 18. Seja f: R^n longrightarrow R^n de classe C^1 tal que f^prime(x) in L(R^n ; R^n) é uma isometria, para todo x in R^n, isto é:
lang<= f^prime(x) cdot h, f^prime(x) cdot krang<==lang<= h, krang<= para todos x, h, k in R^n
Mostre que f é uma isometria:
|f(y)-f(x)|=|y-x| para todo x, y in R^n
Conclua que
f(x)=T(x)+y0,
onde y0 in R^n e T in L(R^n ; R^n) é uma transformação linear ortogonal.

Passo 1

O enunciado dá uma função de classe C^1,
fcolon R^ntoR^n,
tal que para todo x,h,kinR^n vale
llang<= f'(x),h,;f'(x),krrang<= ;=;lang<= h,krang<=,
ou seja, cada diferencial f'(x) é uma isometria linear. Precisamos mostrar que f preserva distâncias:
lvert f(y)-f(x)rvert = lvert y-xrvertforall x,y,
e então concluir que f é da forma
f(x)=T(x)+y0,
com T ortogonal e y0inR^n. Usaremos a representação de f(y)-f(x) por integral da derivada no segmento e depois a propriedade de preservar pontos médios para deduzir que f é afim.

Passo 2

Seja x,yinR^n e defina ,d=y-x. Como f é C^1, pelo Teorema Fundamental do Cálculo em várias variáveis temos
f(y)-f(x) =integral0^1 ddtl[fl(x+t,dr)r],dt =integral0^1f'l(x+t,dr),d;dt

Passo 3

Para brevê-lo, note que
lvert f(y)-f(x)rvert^2 =llang<= integral0^1f'(x+t,d),d,dt,; integral0^1f'(x+s,d),d,dsrrang<=
Usando linearidade do produto interno e o fato de f'(x+tau d) ser isometria, temos
lang<= f'(x+t,d),d,;f'(x+s,d),drang<= =lang<= d,drang<= forall s,t,
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lvert f(y)-f(x)rvert^2 =integral0^1!!integral0^1lang<= d,drang<=,dt,ds =lang<= d,drang<= =lvert y-xrvert^2
Tomando raiz quadrada segue
lvert f(y)-f(x)rvert=lvert y-xrvert,
isto é, f é uma isometria global.

Passo 4

Como f preserva distâncias, ele manda o ponto médio de [x,y] no ponto equidistante de f(x) e f(y). Mas esse ponto equidistante é unicamente tfracf(x)+f(y)2. Logo
f!l(tfracx+y2r) =tfracf(x)+f(y)2

Passo 5

Uma função contínua que preserva pontos médios é afim. Em particular, definindo y0=f(0) e
T(x)=f(x)-y0,
a condição de ponto médio implica
T!l(tfracx+y2r) =tfracT(x)+T(y)2,
e por continuidade estende-se para a equação de Cauchy afim, dando
T(x+y)=T(x)+T(y), T(lambda x)=lambda,T(x),
para todo lambdainR. Assim T é transformação linear e
f(x)=T(x)+y0

Passo 6

Finalmente, como T(x)=f(x)-f(0), sua derivada em qualquer ponto coincide com f'(x). Mas já sabemos que f'(x) é ortogonal para todo x. Portanto a matriz de T é ortogonal, isto é,
Tin O(n)

Resposta

boxed f(x)=T(x)+y0,
onde y0=f(0) e TcolonR^ntoR^n é a transformação linear ortogonal dada por T'(x)=f'(x)in O(n).

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