Um grupo de pessoas está jogando dardos. Suponha que o alvo seja uma bola unitária em , isto é, . Esse grupo é composto de pessoas pouco talentosas. Elas nunca erram o alvo, mas o acertam de forma completamente aleatória. Desta maneira, a probabilidade de que um dardo atinja um conjunto é dada por
(1,5 Ponto) a) Considere as seguintes variáveis aleatórias dadas por , . Determine a função de distribuição e a função de densidade de cada uma dessas variáveis aleatórias. (Dica: observe que , quando .)
(1 Ponto) b) Calcule e .
Passo 1
O problema trata de um dardo lançado uniformemente na bola unitária
com densidade . Definimos
a) Queremos encontrar, para cada variável, a função de distribuição e a função densidade .
b) Calcular e .
Passo 2
Para notamos que, para ,
Logo,
Passo 3
Como Y=X^2 e Yin[0,1], temos para 0<= y<=1:
FY(y)=P(Y<= y)=P(X^2<= y)=P(X<=raizy)=(raizy)^2=y
Portanto,
FY(y)= 0,&y<0, y,&0<= y<=1, 1,&y>1, fY(y)=FY'(y)= 1,&0<y<1, 0,&caso contrário á
Passo 4
Para Z=e^X^2 notamos que Zin[1,e]. Para 1<= z<= e:
FZ(z)=P(Z<= z)=P(e^X^2<= z)=P(X^2<=ln z)=FY(ln z)=ln z
Logo,
FZ(z)= 0,&z<1, ln z,&1<= z<= e, 1,&z>e, fZ(z)=FZ'(z)= 1z,&1<z<e, 0,&caso contrário á