Um grupo de pessoas está jogando dardos. Suponha que o alvo seja uma bola unitária em R^2, isto é, S=B1(0):= (x, y) in R^2 ; x^2+y^2<1. Esse grupo é composto de pessoas pouco talentosas. Elas nunca erram o alvo, mas o acertam de forma completamente aleatória. Desta maneira, a probabilidade de que um dardo atinja um conjunto A subset B1(0) é dada por
P(A)= Área (A) Área (B1(0))= Área (A)pi ÁÁÁ
(1,5 Ponto) a) Considere as seguintes variáveis aleatórias X, Y, Z: B1(0) R dadas por X(x, y)=raizx^2+y^2, Y=X^2, Z=e^X^2. Determine a função de distribuição e a função de densidade de cada uma dessas variáveis aleatórias. (Dica: observe que (X <= r)=X^-1(]-infty, r])=Br(0), quando 0<r<1.)
(1 Ponto) b) Calcule E(X) e Var(X).

Passo 1

O problema trata de um dardo lançado uniformemente na bola unitária
B1(0)=(x,y)inR^2mid x^2+y^2<1,
com densidade 1/pi. Definimos
X=raizx^2+y^2, Y=X^2, Z=e^X^2
a) Queremos encontrar, para cada variável, a função de distribuição F e a função densidade f.
b) Calcular E(X) e Var(X).

Passo 2

Para X notamos que, para 0<= r<=1,
FX(r)=P(X<= r)=Área(Br(0))pi=pi r^2pi=r^2 Á
Logo,
FX(r)= 0,&r<0, r^2,&0<= r<=1, 1,&r>1, fX(r)=FX'(r)= 2r,&0<r<1, 0,&caso contrário á

Passo 3

Como Y=X^2 e Yin[0,1], temos para 0<= y<=1:
FY(y)=P(Y<= y)=P(X^2<= y)=P(X<=raizy)=(raizy)^2=y
Portanto,
FY(y)= 0,&y<0, y,&0<= y<=1, 1,&y>1, fY(y)=FY'(y)= 1,&0<y<1, 0,&caso contrário á

Passo 4

Para Z=e^X^2 notamos que Zin[1,e]. Para 1<= z<= e:
FZ(z)=P(Z<= z)=P(e^X^2<= z)=P(X^2<=ln z)=FY(ln z)=ln z
Logo,
FZ(z)= 0,&z<1, ln z,&1<= z<= e, 1,&z>e, fZ(z)=FZ'(z)= 1z,&1<z<e, 0,&caso contrário á

Passo 5

Para E(X) usamos
E(X)=integral0^1r,fX(r),dr=integral0^1rcdot 2r,dr=2integral0^1r^2,dr=2cdot13=23

Passo 6

Temos também
E(X^2)=E(Y)=integral0^1ycdot fY(y),dy=integral0^1y,dy=12,
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Var(X)=E(X^2)-l[E(X)r]^2=12-l(23r)^2 =12-49=9-818=118

Resposta

a)
FX(r)= 0,&r<0, r^2,&0<= r<=1, 1,&r>1, fX(r)= 2r,&0<r<1, 0,&cc
FY(y)= 0,&y<0, y,&0<= y<=1, 1,&y>1, fY(y)= 1,&0<y<1, 0,&cc
FZ(z)= 0,&z<1, ln z,&1<= z<= e, 1,&z>e, fZ(z)= 1z,&1<z<e, 0,&cc
b)
E(X)=23, Var(X)=118

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