1. (a) Encontre uma linearização de f(x)=cosh x+arctg(senh(2 x)) nas proximidades de a=0.
    (b) Use a aproximação linear do item acima para dar um valor aproximado de f(0,03).

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos
f(x)=cosh x+arctanl(sinh(2x)r)
e queremos a linearização em torno de a=0. A fórmula de Taylor de primeira ordem (linearização) é
L(x)=f(a)+f'(a),(x-a)

Passo 2

Calcular f(0). Como cosh0=1 e sinh0=0, temos
f(0)=cosh0+arctanl(sinh0r)=1+arctan(0)=1

Passo 3

Calcular f'(x). A derivada de cosh x é sinh x. Para g(x)=arctanl(sinh(2x)r), aplicamos regra da cadeia: se u(x)=sinh(2x) então
u'(x)=2cosh(2x), 1+u(x)^2=1+sinh^2(2x)=cosh^2(2x)
Logo
ddxarctanl(sinh(2x)r) =u'(x)1+u(x)^2 =2cosh(2x)cosh^2(2x) =2cosh(2x)
Portanto
f'(x)=sinh x+2cosh(2x)

Passo 4

Avaliar f'(0). Como sinh0=0 e cosh(0)=1, vem
f'(0)=0+21=2

Passo 5

Construir a linearização em a=0:
L(x)=f(0)+f'(0),x=1+2x

Passo 6

Usar L(x) para aproximar f(0,03):
f(0,03)approx L(0,03)=1+2cdot0,03=1,06

Resposta

(a) L(x)=1+2x
(b) f(0,03)approx1,06

Exercícios relacionados