Exercício 18. Seja
uma amostra aleatória tal que
, em que
. Mostre que
Passo 1
O enunciado nos dá uma amostra aleatória independente
com distribuição
e parâmetro
. Queremos calcular a matriz de informação de Fisher, que é definida por
onde
é a log-verossimilhança da amostra. Para isso, vamos obter
, suas derivadas parciais e depois a expectativa das segundas derivadas.
Passo 2
Escrevendo a densidade de cada
e somando para obter a log-verossimilhança, temos
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais da log-verossimilhança em relação a
e
:
Derivada em
:
Derivada em
:
Passo 4
Agora obtemos as segundas derivadas e suas expectativas (lembrando que
e
):
logo
cuja expectativa é zero, logo o elemento cruzado da informação é zero.
então
Passo 5
Reunindo os elementos calculados, a matriz de informação de Fisher fica