Exercício 18. Seja X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n} uma amostra aleatória tal que X_{i} \mid \boldsymbol{\theta} \sim N\left(\mu, \sigma^{2}\right), i= 1,2, \ldots, n, em que \boldsymbol{\theta}=(\mu, \sigma). Mostre que
\mathcal{I}(\boldsymbol{\theta})=n\left[\begin{array}{cc} \sigma^{-2} & 0 \\ 0 & 2 \sigma^{-2} \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá uma amostra aleatória independente X_{1},\dots,X_{n} com distribuição N(\mu,\sigma^{2}) e parâmetro \boldsymbol{\theta}=(\mu,\sigma). Queremos calcular a matriz de informação de Fisher, que é definida por
\mathcal{I}(\boldsymbol{\theta}) = -\,\mathbb{E}\Bigl[\frac{\partial^{2}\ell(\boldsymbol{\theta})}{\partial\boldsymbol{\theta}\,\partial\boldsymbol{\theta}^{T}}\Bigr]
onde \ell(\boldsymbol{\theta}) é a log-verossimilhança da amostra. Para isso, vamos obter \ell, suas derivadas parciais e depois a expectativa das segundas derivadas.

Passo 2

Escrevendo a densidade de cada X_{i} e somando para obter a log-verossimilhança, temos
\ell(\mu,\sigma) = \sum_{i=1}^{n} \log\Bigl[\frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma}\exp\bigl(-\tfrac{(X_{i}-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}\bigr)\Bigr] = -\,n\log\sigma - \frac{n}{2}\log(2\pi) - \frac{1}{2\sigma^{2}}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\mu)^{2}.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais da log-verossimilhança em relação a \mu e \sigma:
Derivada em \mu:
\frac{\partial \ell}{\partial \mu} = -\,\frac{1}{2\sigma^{2}}\cdot 2\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\mu)(-1) = \frac{1}{\sigma^{2}}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\mu).
Derivada em \sigma:
\frac{\partial \ell}{\partial \sigma} = -\,\frac{n}{\sigma} + \frac{1}{\sigma^{3}}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\mu)^{2}.

Passo 4

Agora obtemos as segundas derivadas e suas expectativas (lembrando que \mathbb{E}[X_{i}-\mu]=0 e \mathbb{E}[(X_{i}-\mu)^{2}]=\sigma^{2}):
\displaystyle \frac{\partial^{2}\ell}{\partial \mu^{2}} = -\,\frac{n}{\sigma^{2}},
logo
\displaystyle -\,\mathbb{E}\Bigl[\frac{\partial^{2}\ell}{\partial \mu^{2}}\Bigr] = \frac{n}{\sigma^{2}}. \displaystyle \frac{\partial^{2}\ell}{\partial \mu\,\partial \sigma} = \frac{\partial}{\partial \sigma}\Bigl(\frac{1}{\sigma^{2}}\sum (X_{i}-\mu)\Bigr) = -\,\frac{2}{\sigma^{3}}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\mu),
cuja expectativa é zero, logo o elemento cruzado da informação é zero.
\displaystyle \frac{\partial^{2}\ell}{\partial \sigma^{2}} = \frac{n}{\sigma^{2}} - \frac{3}{\sigma^{4}}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\mu)^{2},
então
-\,\mathbb{E}\Bigl[\frac{\partial^{2}\ell}{\partial \sigma^{2}}\Bigr] = -\Bigl(\frac{n}{\sigma^{2}} - \frac{3}{\sigma^{4}}\cdot n\sigma^{2}\Bigr) = -\Bigl(\frac{n}{\sigma^{2}} - \frac{3n}{\sigma^{2}}\Bigr) = \frac{2n}{\sigma^{2}}.

Passo 5

Reunindo os elementos calculados, a matriz de informação de Fisher fica
\mathcal{I}(\boldsymbol{\theta}) = \begin{pmatrix} \displaystyle \frac{n}{\sigma^{2}} & 0 \\[6pt] 0 & \displaystyle \frac{2n}{\sigma^{2}} \end{pmatrix} = n \begin{pmatrix} \sigma^{-2} & 0 \\[4pt] 0 & 2\,\sigma^{-2} \end{pmatrix}.]

Resposta

\mathcal{I}(\boldsymbol{\theta}) = n \begin{pmatrix} \sigma^{-2} & 0 \\\\ 0 & 2\,\sigma^{-2} \end{pmatrix}.

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