Exercício 5. Mostre que
\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\mu\right)^{2}+c_{0}\left(\mu-\mu_{0}\right)^{2}=S_{X X}+\left(n+c_{0}\right)\left(\mu-\mu_{1}\right)^{2}+\frac{n c_{0}}{n+c_{0}}\left(\mu_{0}-\bar{x}\right)^{2},
em que S_{X X}=\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2} e \mu_{1}=\frac{n \bar{x}+c_{0} \mu_{0}}{n+c_{0}}.

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade
\sum_{i=1}^{n}\bigl(x_{i}-\mu\bigr)^{2} + c_{0}\bigl(\mu-\mu_{0}\bigr)^{2} = S_{XX} + \bigl(n+c_{0}\bigr)\bigl(\mu-\mu_{1}\bigr)^{2} + \frac{n\,c_{0}}{n+c_{0}}\bigl(\mu_{0}-\bar{x}\bigr)^{2},
onde
S_{XX} = \sum_{i=1}^{n}\bigl(x_{i}-\bar{x}\bigr)^{2}, \qquad \mu_{1} = \frac{n\,\bar{x} + c_{0}\,\mu_{0}}{n+c_{0}}.
O conteúdo principal é manipular somas de quadrados e usar completamento de quadrado em \mu.

Passo 2

Primeiro, decompomos
\sum_{i=1}^{n}\bigl(x_{i}-\mu\bigr)^{2} = \sum_{i=1}^{n}\bigl[(x_{i}-\bar{x}) + (\bar{x}-\mu)\bigr]^{2}.
Expandindo cada termo:
\sum_{i=1}^{n}\bigl(x_{i}-\mu\bigr)^{2} = \sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\bar{x})^{2} + 2(\bar{x}-\mu)\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\bar{x}) + \sum_{i=1}^{n}(\bar{x}-\mu)^{2}.
Como \sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\bar{x})=0, isso dá
\sum_{i=1}^{n}\bigl(x_{i}-\mu\bigr)^{2} = S_{XX} + n\,(\bar{x}-\mu)^{2}.
Logo a soma original é
\sum_{i=1}^{n}\bigl(x_{i}-\mu\bigr)^{2} + c_{0}\bigl(\mu-\mu_{0}\bigr)^{2} = S_{XX} + n\,(\bar{x}-\mu)^{2} + c_{0}\,(\mu-\mu_{0})^{2}.

Passo 3

Agora focamos em
n\,(\bar{x}-\mu)^{2} + c_{0}\,(\mu-\mu_{0})^{2},
que é uma soma de dois quadráticos em \mu. Para transformá-la em um único quadrado mais uma constante, escrevemos
n\,(\bar{x}-\mu)^{2} = n\,(\mu-\bar{x})^{2},
então queremos completar o quadrado em
n\,(\mu-\bar{x})^{2} + c_{0}\,(\mu-\mu_{0})^{2}.

Passo 4

Seja
A = n,\quad B = c_{0},\quad m_1 = \frac{n\,\bar{x} + c_{0}\,\mu_{0}}{n+c_{0}}.
Então
A(\mu-\bar{x})^{2} + B(\mu-\mu_{0})^{2} = (A+B)\bigl(\mu-m_{1}\bigr)^{2} + \frac{A\,B}{A+B}\,(\bar{x}-\mu_{0})^{2}.
Substituindo A=n, B=c_{0} e voltando à notação original, obtemos
n\,(\bar{x}-\mu)^{2} + c_{0}(\mu-\mu_{0})^{2} = (n+c_{0})(\mu-\mu_{1})^{2} + \frac{n\,c_{0}}{n+c_{0}}\,(\bar{x}-\mu_{0})^{2}.
Voltando à soma completa,
\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\mu)^{2} + c_{0}(\mu-\mu_{0})^{2} = S_{XX} + (n+c_{0})(\mu-\mu_{1})^{2} + \frac{n\,c_{0}}{n+c_{0}}(\mu_{0}-\bar{x})^{2}.

Resposta

\sum_{i=1}^{n}\bigl(x_{i}-\mu\bigr)^{2} + c_{0}\bigl(\mu-\mu_{0}\bigr)^{2} = S_{XX} + \bigl(n+c_{0}\bigr)\bigl(\mu-\mu_{1}\bigr)^{2} + \frac{n\,c_{0}}{n+c_{0}}\bigl(\mu_{0}-\bar{x}\bigr)^{2}.

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