Exercício 6. Mostre que a família Beta é conjugada às distribuições Binomial, Geométrica e Binomial Negativa.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a priori
, com densidade
é conjugada para as distribuições Binomial, Geométrica e Binomial Negativa. Vamos usar a regra de Bayes:
e verificar que a posterior permanece em forma de Beta.
Passo 2
Para a distribuição Binomial, com
ensaios e
sucessos, a verossimilhança é
Multiplicando pela priori
obtemos
que é o núcleo de uma
.
Passo 3
Para a distribuição Geométrica (número de falhas antes do primeiro sucesso) com
, a verossimilhança é
Logo
o que corresponde a uma
.
Passo 4
Para a distribuição Binomial Negativa, com
sucessos fixos e
falhas antes do
-ésimo sucesso, a verossimilhança é
Assim
que é o núcleo de uma
.
Passo 5
Concluímos que, em todos os três casos, a distribuição posterior de
pertence à família Beta. Portanto, Beta é conjugada às distribuições Binomial, Geométrica e Binomial Negativa.
Resposta
Binomial:
Geométrica:
Binomial Negativa:
Geométrica:
Binomial Negativa: