Exercício 6. Mostre que a família Beta é conjugada às distribuições Binomial, Geométrica e Binomial Negativa.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a priori
\theta\sim Beta(\alpha,\beta), com densidade
\pi(\theta)\propto \theta^{\alpha-1}(1-\theta)^{\beta-1},
é conjugada para as distribuições Binomial, Geométrica e Binomial Negativa. Vamos usar a regra de Bayes:
\pi(\theta\mid \text{dados})\propto \pi(\theta)\times L(\text{dados}\mid\theta)
e verificar que a posterior permanece em forma de Beta.

Passo 2

Para a distribuição Binomial, com n ensaios e x sucessos, a verossimilhança é
P(X=x\mid\theta)=\binom{n}{x}\,\theta^{x}\,(1-\theta)^{\,n-x}.
Multiplicando pela priori
\pi(\theta)\propto\theta^{\alpha-1}(1-\theta)^{\beta-1} obtemos
\pi(\theta\mid x)\propto \theta^{\alpha-1+x}\,(1-\theta)^{\beta-1+(n-x)},
que é o núcleo de uma Beta(\alpha+x,\beta+n-x).

Passo 3

Para a distribuição Geométrica (número de falhas antes do primeiro sucesso) com X=x, a verossimilhança é
P(X=x\mid\theta)=\theta\,(1-\theta)^{x}.
Logo
\pi(\theta\mid x)\propto \theta^{\alpha-1+1}\,(1-\theta)^{\beta-1+x},
o que corresponde a uma Beta(\alpha+1,\beta+x).

Passo 4

Para a distribuição Binomial Negativa, com r sucessos fixos e X=x falhas antes do r-ésimo sucesso, a verossimilhança é
P(X=x\mid\theta)=\binom{x+r-1}{x}\,\theta^{r}\,(1-\theta)^{x}.
Assim
\pi(\theta\mid x)\propto \theta^{\alpha-1+r}\,(1-\theta)^{\beta-1+x},
que é o núcleo de uma Beta(\alpha+r,\beta+x).

Passo 5

Concluímos que, em todos os três casos, a distribuição posterior de \theta pertence à família Beta. Portanto, Beta é conjugada às distribuições Binomial, Geométrica e Binomial Negativa.

Resposta

Binomial: \theta \mid X = x \sim \text{Beta}(\alpha + x, \beta + n - x)
Geométrica: \theta \mid X = x \sim \text{Beta}(\alpha + 1, \beta + x)
Binomial Negativa: \theta \mid X = x \sim \text{Beta}(\alpha + r, \beta + x)

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