Exercício 2. Mostre que as classes Normal e Normal-Gama são fechadas por amostragem.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, em modelo Bayesiano, a família Normal (com variância conhecida) e a família Normal–Gama (quando se trata de média e precisão conjuntas) são fechadas por amostragem, ou seja, o posterior permanece na mesma classe do prior. Para isso vamos usar o Teorema de Bayes, escrever as densidades de prior e verossimilhança, multiplicá-las e verificar que o resultado é da mesma forma funcional do prior, com parâmetros atualizados.
No expoente, agrupamos os termos em \mu^{2} e em \mu:
coeficiente de \mu^{2} é \tfrac{n}{2\sigma^{2}}+\tfrac{1}{2\sigma_{0}^{2}}=\tfrac{1}{2\sigma_{n}^{2}},
coeficiente de \mu é -\bigl(\tfrac{\sum x_{i}}{\sigma^{2}}+\tfrac{\mu_{0}}{\sigma_{0}^{2}}\bigr)= -\tfrac{\mu_{n}}{\sigma_{n}^{2}}.
Isso define
que é exatamente uma distribuição Normal–Gama com hiperparâmetros \mu_{n},\lambda_{n},\alpha_{n},\beta_{n}. Assim a classe Normal–Gama também é fechada por amostragem.
Resposta
As duas famílias são conjugadas:
– Para variância conhecida, o posterior de \mu é Normal com média \mu_{n} e variância \sigma_{n}^{2}.
– Para média e precisão desconhecidas, o posterior de (\mu,\tau) é Normal–Gama com parâmetros \mu_{n},\lambda_{n},\alpha_{n},\beta_{n}.