Exercício 4. (D.K. ex. 14.47) Seja u in S^prime(R^n), com u neq 0, uma solução do problema De<a u=lambda u, lambda in C.
a) Prove que lambda <= 0. (Dica: Tome a trasformada de Fourier da equação)
b) Prove que se lambda=0, então u é um polinômio.
c) Prove que u in C^infty(R^n) e u tem uma extensão holomorfa em C^n.

Passo 1

O enunciado diz que uin S'( R^n), uneq0, satisfaz
De<a u=lambda u, lambdain C
Precisamos mostrar:
a) lambda<=0.
b) Se lambda=0, então u é um polinômio.
c) uin C^infty( R^n) e se estende holomorficamente a C^n.
Vamos usar a transformada de Fourier em distribuições temperadas e o teorema de Paley–Wiener–Schwartz.

Passo 2

Aplicando F em ambos os lados de De<a u=lambda u e lembrando que
F(De<a u)(xi)=-|xi|^2,widehat u(xi),
obtém-se
-|xi|^2,widehat u(xi)=lambda,widehat u(xi) Longrightarrow l(|xi|^2+lambdar)widehat u(xi)=0
como identidade em S'( R^n).

Passo 3

Da igualdade l(|xi|^2+lambdar)widehat u=0 segue que
suppwidehat u;subset;xiin R^nmid|xi|^2+lambda=0
Se lambda>0, então |xi|^2+lambda>0 para todo xi, o que faria esse conjunto vazio e forçaria widehat u=0, ou seja u=0, contradizendo uneq0. Logo lambda<=0.

Passo 4

No caso lambda=0 temos |xi|^2widehat u=0, logo
suppwidehat usubset0
Mas toda distribuição temperada suportada num ponto é combinação finita de derivadas de de<a, e a inversa de Fourier disso é um polinômio. Portanto u é polinômio.

Passo 5

Se lambda<0, então suppwidehat usubset|xi|=raiz-lambda, que é compacto. Em ambos os casos ( lambda<=0) o suporte de widehat u é compacto, e pelo teorema de Paley–Wiener–Schwartz a inversa de Fourier de uma distribuição de suporte compacto é uma função inteira em C^n e C^infty em R^n. Assim uin C^infty( R^n) e estende-se holomorficamente a C^n.

Resposta

a) lambda<=0.
b) Se lambda=0, então u é um polinômio.
c) uin C^infty( R^n) e tem extensão holomorfa em C^n.

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