Exercício 4. (D.K. ex. 14.47) Seja
, com
, uma solução do problema
.
a) Prove que
. (Dica: Tome a trasformada de Fourier da equação)
b) Prove que se
, então
é um polinômio.
c) Prove que
e
tem uma extensão holomorfa em
.
a) Prove que
b) Prove que se
c) Prove que
Passo 1
O enunciado diz que
,
, satisfaz
Precisamos mostrar:
a) .
b) Se , então
é um polinômio.
c) e se estende holomorficamente a
.
Vamos usar a transformada de Fourier em distribuições temperadas e o teorema de Paley–Wiener–Schwartz.
a)
b) Se
c)
Vamos usar a transformada de Fourier em distribuições temperadas e o teorema de Paley–Wiener–Schwartz.
Passo 2
Aplicando
em ambos os lados de
e lembrando que
obtém-se
como identidade em
.
Passo 3
Da igualdade
segue que
Se
, então
para todo
, o que faria esse conjunto vazio e forçaria
, ou seja
, contradizendo
. Logo
.
Passo 4
No caso
temos
, logo
Mas toda distribuição temperada suportada num ponto é combinação finita de derivadas de
, e a inversa de Fourier disso é um polinômio. Portanto
é polinômio.
Passo 5
Se
, então
, que é compacto. Em ambos os casos (
) o suporte de
é compacto, e pelo teorema de Paley–Wiener–Schwartz a inversa de Fourier de uma distribuição de suporte compacto é uma função inteira em
e
em
. Assim
e estende-se holomorficamente a
.
Resposta
a)
.
b) Se , então
é um polinômio.
c) e tem extensão holomorfa em
.
b) Se
c)