Exercício 18 Sejam A=\left(\begin{array}{ccc}1 & -2 & 3 \\\\ 4 & 1 & 0\end{array}\right) e B=\left(\begin{array}{ccc}-1 & 2 & 0 \\\\ 1 & -2 & 0\end{array}\right). Calcule 2 A, 3 B e 2 A-3 B.

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes A e B e pede três coisas: calcular 2A, calcular 3B e calcular 2A-3B. As matrizes fornecidas são
A=\left(\begin{array}{ccc}1 & -2 & 3 \\[4pt] 4 & 1 & 0\end{array}\right)
e
B=\left(\begin{array}{ccc}-1 & 2 & 0 \\[4pt] 1 & -2 & 0\end{array}\right).]

Passo 2

Relembrando a definição que vamos usar (explicando passo a passo):
  • Multiplicação de uma matriz por um escalar: se c é um número e M=(m_{ij}) é uma matriz, então cM é a matriz obtida multiplicando cada entrada por c. Em notação:
(cM)_{ij}=c\cdot m_{ij}.
Isto significa que para obter 2A basta multiplicar cada elemento de A por 2; para obter 3B basta multiplicar cada elemento de B por 3.
  • Subtração de matrizes: se X=(x_{ij}) e Y=(y_{ij}) têm o mesmo tamanho, então X-Y é a matriz com entradas
(X-Y)_{ij}=x_{ij}-y_{ij},
ou seja, subtrai-se termo a termo.
Agora aplicamos essas regras passo a passo nos dados.

Passo 3

Calcular 2A. Vou multiplicar cada entrada de A por 2. Escrevendo A novamente:
A=\left(\begin{array}{ccc}1 & -2 & 3 \\[4pt] 4 & 1 & 0\end{array}\right).
Multiplicando entrada a entrada:
  • Primeira linha: 2\cdot 1=2, 2\cdot(-2)=-4, 2\cdot 3=6.
  • Segunda linha: 2\cdot 4=8, 2\cdot 1=2, 2\cdot 0=0.
Portanto
2A=\left(\begin{array}{ccc}2 & -4 & 6 \\[4pt] 8 & 2 & 0\end{array}\right).]

Passo 4

Calcular 3B. Escrevendo B novamente:
B=\left(\begin{array}{ccc}-1 & 2 & 0 \\[4pt] 1 & -2 & 0\end{array}\right).
Multiplicando cada entrada por 3:
  • Primeira linha: 3\cdot(-1)=-3, 3\cdot 2=6, 3\cdot 0=0.
  • Segunda linha: 3\cdot 1=3, 3\cdot(-2)=-6, 3\cdot 0=0.
Logo
3B=\left(\begin{array}{ccc}-3 & 6 & 0 \\[4pt] 3 & -6 & 0\end{array}\right).]

Passo 5

Calcular 2A-3B usando subtração termo a termo. Já temos
2A=\left(\begin{array}{ccc}2 & -4 & 6 \\[4pt] 8 & 2 & 0\end{array}\right), \qquad 3B=\left(\begin{array}{ccc}-3 & 6 & 0 \\[4pt] 3 & -6 & 0\end{array}\right).
Agora cada entrada de 2A-3B é a diferença correspondente:
  • Entrada (1,1): 2-(-3)=2+3=5.
  • Entrada (1,2): -4-6=-10.
  • Entrada (1,3): 6-0=6.
  • Entrada (2,1): 8-3=5.
  • Entrada (2,2): 2-(-6)=2+6=8.
  • Entrada (2,3): 0-0=0.
Portanto
2A-3B=\left(\begin{array}{ccc}5 & -10 & 6 \\[4pt] 5 & 8 & 0\end{array}\right).]

Resposta

2A=\left(\begin{array}{ccc}2 & -4 & 6 \\[4pt] 8 & 2 & 0\end{array}\right)
3B=\left(\begin{array}{ccc}-3 & 6 & 0 \\[4pt] 3 & -6 & 0\end{array}\right)
2A-3B=\left(\begin{array}{ccc}5 & -10 & 6 \\[4pt] 5 & 8 & 0\end{array}\right)]

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