Exercício 17 Sejam vec{x}_{1}, vec{x}_{2}, \cdots, vec{x}_{k} vetores linearmente independentes em um espaço vetorial V.
Se eliminarmos um vetor, por exemplo, vec{x}_{k} da coleção, ainda teremos uma coleção LI de vetores? Explique.

Passo 1

O enunciado dá que a coleção de vetores \{\vec{x}_{1},\vec{x}_{2},\dots,\vec{x}_{k}\} é linearmente independente. A pergunta é: se eliminarmos um vetor dessa coleção (por exemplo \vec{x}_{k}), a coleção restante \{\vec{x}_{1},\dots,\vec{x}_{k-1}\} continua sendo linearmente independente? Listei as informações úteis:
  • Dado: \{\vec{x}_{1},\vec{x}_{2},\dots,\vec{x}_{k}\} é LI.
  • Pergunta: a coleção sem \vec{x}_{k}, isto é \{\vec{x}_{1},\dots,\vec{x}_{k-1}\}, é LI?

Passo 2

Vamos lembrar, com calma e sem pular etapas, o que significa “linearmente independente”.
  • Uma combinação linear dos vetores \vec{v}_1,\dots,\vec{v}_m é uma expressão \displaystyle a_{1}\vec{v}_1+\cdots+a_{m}\vec{v}_m, onde a_1,\dots,a_m são escalares.
  • O conjunto \{\vec{v}_1,\dots,\vec{v}_m\} é chamado linearmente independente (LI) se a única solução para
a_{1}\vec{v}_1+\cdots+a_{m}\vec{v}_m=\vec{0}
é a_{1}=a_{2}=\cdots=a_{m}=0. Essa solução em que todos os coeficientes são zero chama-se solução trivial.
  • Se existir alguma solução com pelo menos um coeficiente não nulo, o conjunto é linearmente dependente (LD).

Passo 3

Prova direta (muito comum e simples): vamos mostrar que qualquer subconjunto de um conjunto LI também é LI. Aqui fazemos isso no caso de remover \vec{x}_k.
  • Suponha, por contradição, que a coleção reduzida \{\vec{x}_{1},\dots,\vec{x}_{k-1}\} seja linearmente dependente. Então existem escalares a_{1},\dots,a_{k-1}, não todos zero, tais que
a_{1}\vec{x}_{1}+\cdots+a_{k-1}\vec{x}_{k-1}=\vec{0}.
  • Agora estenda esses coeficientes para a coleção inteira definindo a_{k}=0. Então obtemos uma combinação linear dos k vetores:
a_{1}\vec{x}_{1}+\cdots+a_{k-1}\vec{x}_{k-1}+a_{k}\vec{x}_{k}=\vec{0},
com pelo menos um coeficiente não nulo (porque os a_{1},\dots,a_{k-1} não são todos zero). Ou seja, encontramos uma combinação não trivial dos vetores \{\vec{x}_{1},\dots,\vec{x}_{k}\} que dá \vec{0}.
  • Isso contradiz a hipótese inicial de que \{\vec{x}_{1},\dots,\vec{x}_{k}\} é LI (pois em um conjunto LI só a combinação trivial deve dar \vec{0}). Portanto a suposição de que a coleção reduzida é LD é falsa.

Passo 4

Conclusão lógica do passo anterior: a coleção \{\vec{x}_{1},\dots,\vec{x}_{k-1}\} não pode ser linearmente dependente; logo ela é linearmente independente. Em palavras simples: tirar vetores de uma coleção que já era LI nunca cria uma dependência — ao remover vetores fica ainda mais difícil formar combinações não-triviais que somem a zero.

Passo 5

Comentários finais, exemplo e observação útil para a prova:
  • Exemplo concreto para intuir: em \mathbb{R}^{3}, os vetores \vec{e}_1=(1,0,0), \vec{e}_2=(0,1,0), \vec{e}_3=(0,0,1) são LI. Se eu apagar \vec{e}_3, os dois restantes \vec{e}_1,\vec{e}_2 continuam LI.
  • Caso especial: se k=1, remover o único vetor deixa o conjunto vazio. Por convenção (e por verificação da definição) o conjunto vazio é LI (não há combinação não-trivial possível). Então a afirmação continua verdadeira em todos os casos.
  • Dica de prova para a prova: usar sempre a técnica de assumir que o subconjunto é LD e estender os coeficientes com zeros para contradizer a LI original — é curta e segura.

Resposta

Sim. Qualquer subconjunto de uma coleção linearmente independente é linearmente independente; portanto \{\vec{x}_{1},\dots,\vec{x}_{k-1}\} é linearmente independente.

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