Exercício 17 Sejam
vetores linearmente independentes em um espaço vetorial
.
Se eliminarmos um vetor, por exemplo,
da coleção, ainda teremos uma coleção LI de vetores? Explique.
Se eliminarmos um vetor, por exemplo,
Passo 1
O enunciado dá que a coleção de vetores
é linearmente independente. A pergunta é: se eliminarmos um vetor dessa coleção (por exemplo
), a coleção restante
continua sendo linearmente independente? Listei as informações úteis:
- Dado:
é LI. - Pergunta: a coleção sem
, isto é , é LI?
Passo 2
Vamos lembrar, com calma e sem pular etapas, o que significa “linearmente independente”.
- Uma combinação linear dos vetores
é uma expressão , onde são escalares. - O conjunto
é chamado linearmente independente (LI) se a única solução para
é
. Essa solução em que todos os coeficientes são zero chama-se solução trivial.
- Se existir alguma solução com pelo menos um coeficiente não nulo, o conjunto é linearmente dependente (LD).
Passo 3
Prova direta (muito comum e simples): vamos mostrar que qualquer subconjunto de um conjunto LI também é LI. Aqui fazemos isso no caso de remover
.
- Suponha, por contradição, que a coleção reduzida
seja linearmente dependente. Então existem escalares , não todos zero, tais que
- Agora estenda esses coeficientes para a coleção inteira definindo
. Então obtemos uma combinação linear dos vetores:
com pelo menos um coeficiente não nulo (porque os
não são todos zero). Ou seja, encontramos uma combinação não trivial dos vetores
que dá
.
- Isso contradiz a hipótese inicial de que
é LI (pois em um conjunto LI só a combinação trivial deve dar ). Portanto a suposição de que a coleção reduzida é LD é falsa.
Passo 4
Conclusão lógica do passo anterior: a coleção
não pode ser linearmente dependente; logo ela é linearmente independente. Em palavras simples: tirar vetores de uma coleção que já era LI nunca cria uma dependência — ao remover vetores fica ainda mais difícil formar combinações não-triviais que somem a zero.
Passo 5
Comentários finais, exemplo e observação útil para a prova:
- Exemplo concreto para intuir: em
, os vetores , , são LI. Se eu apagar , os dois restantes continuam LI. - Caso especial: se
, remover o único vetor deixa o conjunto vazio. Por convenção (e por verificação da definição) o conjunto vazio é LI (não há combinação não-trivial possível). Então a afirmação continua verdadeira em todos os casos. - Dica de prova para a prova: usar sempre a técnica de assumir que o subconjunto é LD e estender os coeficientes com zeros para contradizer a LI original — é curta e segura.
Resposta
Sim. Qualquer subconjunto de uma coleção linearmente independente é linearmente independente; portanto
é linearmente independente.