Exercício 22 (Sistema de Recomendação) Considere as avaliações de três usuários para dois filmes:
R=\left[\begin{array}{ll} 5 & 3 \\\\ 4 & 2 \\\\ 1 & 5 \end{array}\right]
e um vetor de preferências de um novo usuário
p=\left[\begin{array}{l} 0.7 \\\\ 0.3 \end{array}\right]
(a) Calcule R p.
(b) Interprete o resultado como previsão de interesse do usuário.

Passo 1

O enunciado nos dá claramente os seguintes dados e pede duas coisas:
  • Matriz de avaliações de três usuários para dois filmes:
R=\begin{pmatrix}5 & 3\\[4pt]4 & 2\\[4pt]1 & 5\end{pmatrix}
  • Vetor de preferências do novo usuário sobre os dois filmes:
p=\begin{pmatrix}0,7\\[4pt]0,3\end{pmatrix}
Perguntas:
(a) Calcular \,R p.
(b) Interpretar o resultado como previsão de interesse do usuário.]

Passo 2

Entender o que significa multiplicar uma matriz por um vetor (sem pânico — é só produto escalar por linha):
  • Se R tem dimensão 3\times2 e p é um vetor 2\times1, então R p é um vetor 3\times1.
  • A regra é: a i-ésima entrada de R p é o produto escalar (dot product) entre a i-ésima linha de R e o vetor p. Em fórmula:
(Rp)_i=\sum_{j=1}^{2}R_{ij}\,p_j.
Explicando isso como “aula rápida”: o produto escalar entre dois vetores \begin{pmatrix}a_1\a_2\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}b_1\b_2\end{pmatrix} é a_1b_1+a_2b_2. Aqui cada linha de R é um par de notas que um usuário deu aos dois filmes, e p são os pesos (preferências) do novo usuário para esses mesmos filmes. Portanto (Rp)_i será a soma ponderada das notas do usuário i usando os pesos do novo usuário.
  • Observação útil: p soma 0,7+0,3=1. Isso significa que estamos fazendo uma média ponderada (combinação convexa) das duas notas de cada usuário — o resultado fica na mesma escala de avaliação.

Passo 3

Agora calcular cada entrada seguindo a fórmula do passo anterior, mostrando contas passo a passo.
  1. Linha 1 de R é (5,\,3). Então
(Rp)_1=5\cdot0,7+3\cdot0,3=3,5+0,9=4,4.
  1. Linha 2 de R é (4,\,2). Então
(Rp)_2=4\cdot0,7+2\cdot0,3=2,8+0,6=3,4.
  1. Linha 3 de R é (1,\,5). Então
(Rp)_3=1\cdot0,7+5\cdot0,3=0,7+1,5=2,2.
Portanto o produto é o vetor
Rp=\begin{pmatrix}4,4\\[4pt]3,4\\[4pt]2,2\end{pmatrix}.]

Passo 4

Interpretação didática e prática (como usar isso numa prova ou num sistema de recomendação):
  • Cada componente (Rp)_i é a média ponderada das avaliações do usuário i nos dois filmes, onde os pesos são as preferências do novo usuário. Como p soma 1, (Rp)_i está na mesma escala das notas originais (por exemplo de 1 a 5).
  • Intuição: se o novo usuário valoriza muito o primeiro filme ( p_1 grande), vamos dar mais importância às notas que cada usuário deu ao primeiro filme ao calcular a pontuação (Rp)_i.
  • Interpretação prática: valores maiores em Rp indicam maior “alinhamento” entre as preferências do novo usuário e o padrão de avaliação daquele usuário. Aqui os valores dizem que:
    • O usuário 1 tem maior alinhamento com o novo usuário ( 4,4),
    • depois o usuário 2 ( 3,4),
    • e por último o usuário 3 ( 2,2).
  • Uso em recomendação: com esse alinhamento pode-se, por exemplo, dar mais peso às avaliações do usuário 1 na hora de construir recomendações para o novo usuário (porque ele é o mais parecido segundo p). Também é importante notar que, como p já está normalizado (soma 1), os resultados são médias ponderadas diretas e não exigem normalização adicional.

Resposta

(a) Rp=\begin{pmatrix}4,4\\[4pt]3,4\\[4pt]2,2\end{pmatrix}
(b) Cada entrada é a média ponderada (pela preferência p) das avaliações do respectivo usuário; valores maiores significam maior alinhamento das avaliações desse usuário com as preferências do novo usuário (logo o novo usuário é mais parecido com o usuário 1).]

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