Exercício 16 Quais das seguintes coleções de vetores são linearmente independentes em \mathbb{R}^{3} ? Justifique.
(1,2,4),(2,1,3),(4,-1,1).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a coleção de vetores em \mathbb{R}^3
v_1=(1,2,4),\qquad v_2=(2,1,3),\qquad v_3=(4,-1,1)
é linearmente independente ou não. Informações dadas:
  • Os três vetores acima (cada um com três componentes).
  • Pergunta: “Quais das seguintes coleções de vetores são linearmente independentes em \mathbb{R}^{3} ? Justifique.” (aqui a coleção é \{v_1,v_2,v_3\}).

Passo 2

O que significa “linearmente independente” (explicação didática, passo a passo).
  • Três vetores v_1,v_2,v_3 são linearmente independentes se a única solução do sistema
\alpha v_1+\beta v_2+\gamma v_3=0
é \alpha=\beta=\gamma=0.
  • Em palavras: não existe combinação linear não trivial (com coeficientes nem todos zero) que dê o vetor zero.
  • Se existe uma combinação não trivial, dizem que os vetores são linearmente dependentes e então podemos escrever um dos vetores como combinação linear dos outros.

Passo 3

Método escolhido e por quê.
  • Dois caminhos comuns: (i) montar o sistema homogêneo \alpha v_1+\beta v_2+\gamma v_3=0 e resolvê-lo; (ii) formar a matriz com esses vetores como colunas e calcular o determinante: se o determinante for diferente de zero, são independentes; se for zero, são dependentes.
  • Vou usar o critério do determinante (método rápido e direto) e, se der zero, vou também encontrar explicitamente uma relação de dependência resolvendo o sistema (para mostrar a combinação não trivial). Isso é prático em prova e pedagógico para entender a dependência.

Passo 4

Formar a matriz cujas colunas são os vetores e calcular o determinante.
  • Monto a matriz A com colunas v_1,v_2,v_3:
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 4\\[4pt] 2 & 1 & -1\\[4pt] 4 & 3 & 1 \end{pmatrix},
onde cada coluna é um dos vetores dados (peguei as componentes dos vetores do enunciado).
  • Calculo o determinante por expansão na primeira linha (fórmula do determinante 3×3):
\det(A)=1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]3 & 1\end{pmatrix} -2\cdot\det\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]4 & 1\end{pmatrix} +4\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]4 & 3\end{pmatrix}.
Agora calculo cada menor:
\det\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]3 & 1\end{pmatrix}=1\cdot1-(-1)\cdot3=1+3=4,
\det\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]4 & 1\end{pmatrix}=2\cdot1-(-1)\cdot4=2+4=6,
\det\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]4 & 3\end{pmatrix}=2\cdot3-1\cdot4=6-4=2.
Substituindo:
\det(A)=1\cdot4-2\cdot6+4\cdot2=4-12+8=0.]

Passo 5

Interpretação do determinante e consequência.
  • Como \det(A)=0, a matriz A não é invertível e as colunas são linearmente dependentes.
  • Logo, os vetores v_1,v_2,v_3 são linearmente dependentes (existe combinação não trivial que dá zero).

Passo 6

Encontrar explicitamente uma relação de dependência (útil para prova e compreensão).
  • Escrevo o sistema homogêneo correspondente:
\begin{cases} \alpha\cdot1+\beta\cdot2+\gamma\cdot4=0,\\[4pt] \alpha\cdot2+\beta\cdot1+\gamma\cdot(-1)=0,\\[4pt] \alpha\cdot4+\beta\cdot3+\gamma\cdot1=0. \end{cases}
  • Da primeira equação obtém-se \alpha=-2\beta-4\gamma.
  • Substituo na segunda:
2(-2\beta-4\gamma)+\beta-\gamma=0
-4\beta-8\gamma+\beta-\gamma=0
-3\beta-9\gamma=0 \quad\Rightarrow\quad \beta+3\gamma=0 \quad\Rightarrow\quad \beta=-3\gamma.
  • Substituo \beta=-3\gamma em \alpha=-2\beta-4\gamma:
\alpha=-2(-3\gamma)-4\gamma=6\gamma-4\gamma=2\gamma.
  • Portanto (\alpha,\beta,\gamma)=\gamma(2,-3,1). Escolhendo \gamma=1 obtemos a relação não trivial
2v_1-3v_2+1\cdot v_3=0.
  • Verificação rápida (somando as combinações componente a componente):
2(1,2,4)-3(2,1,3)+(4,-1,1)=(2,4,8)+(-6,-3,-9)+(4,-1,1)=(0,0,0).
Confirma-se a dependência.]

Passo 7

Conclusão final com linguagem encorajadora.
  • Então, os três vetores não são independentes: há uma relação linear não trivial entre eles explicitada no passo anterior. Isso é suficiente para responder a pergunta da prova e também mostra como, na prática, encontrar a combinação quando o determinante dá zero. Bom trabalho — já dá pra usar esse tipo de procedimento rápido na prova!

Resposta

Os vetores são linearmente dependentes. Relação de dependência: 2(1,2,4)-3(2,1,3)+(4,-1,1)=(0,0,0).

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