é linearmente independente ou não. Informações dadas:
Os três vetores acima (cada um com três componentes).
Pergunta: “Quais das seguintes coleções de vetores são linearmente independentes em \mathbb{R}^{3} ? Justifique.” (aqui a coleção é \{v_1,v_2,v_3\}).
Passo 2
O que significa “linearmente independente” (explicação didática, passo a passo).
Três vetores v_1,v_2,v_3 são linearmente independentes se a única solução do sistema
\alpha v_1+\beta v_2+\gamma v_3=0
é \alpha=\beta=\gamma=0.
Em palavras: não existe combinação linear não trivial (com coeficientes nem todos zero) que dê o vetor zero.
Se existe uma combinação não trivial, dizem que os vetores são linearmente dependentes e então podemos escrever um dos vetores como combinação linear dos outros.
Passo 3
Método escolhido e por quê.
Dois caminhos comuns: (i) montar o sistema homogêneo \alpha v_1+\beta v_2+\gamma v_3=0 e resolvê-lo; (ii) formar a matriz com esses vetores como colunas e calcular o determinante: se o determinante for diferente de zero, são independentes; se for zero, são dependentes.
Vou usar o critério do determinante (método rápido e direto) e, se der zero, vou também encontrar explicitamente uma relação de dependência resolvendo o sistema (para mostrar a combinação não trivial). Isso é prático em prova e pedagógico para entender a dependência.
Passo 4
Formar a matriz cujas colunas são os vetores e calcular o determinante.
Então, os três vetores não são independentes: há uma relação linear não trivial entre eles explicitada no passo anterior. Isso é suficiente para responder a pergunta da prova e também mostra como, na prática, encontrar a combinação quando o determinante dá zero. Bom trabalho — já dá pra usar esse tipo de procedimento rápido na prova!
Resposta
Os vetores são linearmente dependentes. Relação de dependência: 2(1,2,4)-3(2,1,3)+(4,-1,1)=(0,0,0).