Exercício 18 Utilize o teorema de Green para calcular:
I=ointC-x^2 y1+x^2 d x+arctg x d y onde C é o caminho fechado formado por y=0, x= 1, y=1 e x=0, no sentido anti-horário;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha fechada
I=ointCP,dx+Q,dy
onde
P(x,y)=-x^2y1+x^2, Q(x,y)=arctan x,
e C é o contorno do retângulo 0<= x<=1, 0<= y<=1 percorrido no sentido anti-horário. Vamos usar o Teorema de Green, que converte essa integral de linha num integral de área sobre a região R limitada por C.

Passo 2

Pelo Teorema de Green,
I=integral duplaR!l(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dA
Calculamos as derivadas parciais:
partial Qpartial x =ddxl(arctan xr) =11+x^2,
partial Ppartial y =partialpartial y!l(-x^2y1+x^2r) =-x^21+x^2

Passo 3

Então o integrando fica
partial Qpartial x-partial Ppartial y =11+x^2-(-x^21+x^2) =1+x^21+x^2 =1

Passo 4

Agora integramos sobre R, que é o retângulo 0<= x<=1, 0<= y<=1:
I =integral duplaR1,dA =integral0^1!integral0^11,dy,dx =integral0^1l[yr]0^1dx =integral0^11,dx =1

Resposta

I=1

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