Utilizando as propriedades aritméticas da integral indefinida, obtenha:
integral x^3-2 x^2+4raizx d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral x^3-2x^2+4raizx,dx,
usando as propriedades aritméticas da integral indefinida.
O conteúdo aqui é a linearidade da integral e a regra de potência, que diz que
integral x^n,dx = x^n+1n+1 + C, nneq -1

Passo 2

Vamos reescrever o integrando dividindo cada termo por raizx=x^1/2:
x^3x^1/2 = x^3-tfrac12 = x^5/2, -2x^2x^1/2 = -2,x^2-tfrac12 = -2,x^3/2, 4x^1/2 = 4,x^-tfrac12
Portanto a integral vira
integral l(x^5/2 - 2x^3/2 + 4x^-1/2r),dx

Passo 3

Pela linearidade da integral, separamos em três integrais:
integral x^5/2,dx ;-; 2integral x^3/2,dx ;+; 4integral x^-1/2,dx

Passo 4

Aplicamos a regra de potência a cada termo:
integral x^5/2,dx = x^7/2tfrac72 = 27x^7/2,
integral x^3/2,dx = x^5/2tfrac52 = 25x^5/2,
integral x^-1/2,dx = x^1/2tfrac12 = 2,x^1/2
Multiplicando pelos coeficientes iniciais, obtemos
27x^7/2 ;-;2cdot25x^5/2;+;4cdot2,x^1/2 = 27x^7/2 - 45x^5/2 + 8x^1/2

Passo 5

Somamos tudo e acrescentamos a constante de integração C.

Resposta

boxedintegral x^3-2x^2+4raizx,dx = 27x^7/2 - 45x^5/2 + 8x^1/2 + C

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